如图，△ABC中，，点P在边上，且满足 .

1. (2017八上·临海期末)
如图，△ABC中， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）画出点P的位置（尺规作图，保留痕迹）；
3. （2） ①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为；
  ②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °.

能力提升真题演练换一批

1. (2022八上·宝应期中) 如图，点A、D、C、F在同一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．有下列三个条件：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ．
1. （1）请在上述三个条件中选取一个条件（填写序号，多选不得分），使得 $\text{[math]}$ ，依据是（填“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）；
2. （2）请完成（1）的证明．
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2. (2021八上·襄汾期末) 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据教材中的分析．
1. （1）结合图①，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程．
2. （2）定理应用：
  如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．连接MB，若AB=8cm， $\text{[math]}$ 的周长是14cm．
  ①求BC的长；
  ②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P，B，C构成的 $\text{[math]}$ 的周长是否存在最小值?若存在，标出点P的位置，并求 $\text{[math]}$ 的周长最小值；若不存在，说明理由．
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3. (2021八上·淮滨月考) 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.设P点的运动时间为t.
1. （1） CP＝cm.（用含t的式子表示）；
2. （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
3. （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
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1. (2022·遵义) 将正方形 $\text{[math]}$ 和菱形 $\text{[math]}$ 按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 经过点B，点E，G分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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2. (2021·宜昌) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为半径的 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①求 $\text{[math]}$ 的长；
  
  ②求 $\text{[math]}$ 的长.
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3. (2021·北京) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的半径为5， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．
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