如图所示，△ABO中，A，B两点的坐标分别为（2，4），（7，2），C，G，F，E分别为过A，B两点所作的y轴、x轴的垂线与y轴、x轴的交点．求△AOB的面积．

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如图所示，△ABO中，A，B两点的坐标分别为（2，4），（7，2），C，G，F，E分别为过A，B两点所作的y轴、x轴的垂线与y轴、x轴的交点．求△AOB的面积．

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2023九上·肇源月考) 如图，一艘不明国籍轮船位于我海监船观测点P的北偏东60°方向，轮船在A处与我海监船观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行，将会到达位于海监船观测点P的南偏东45°方向上的B处。我神圣领土钓鱼岛也位于海监船观测点P的南偏东45°方向上，且与点P的距离为70海里处（可把岛屿看做一个点），如果此轮船有非法直接侵入钓鱼岛嫌疑，我们将提前发出警告，问此时轮船沿原航线前往B处是否遭到警告？

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2. (2021九上·历下期中) 如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．

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3. (2023九上·游仙期中) 如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP＝3，求P'P²的值．

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1. (2023九上·杭州月考) 已知：如图，作 $\text{[math]}$ ABC的外接圆，在AB上方作弦AD使AD＝BC连接CD ，并求证：CD $\text{[math]}$ AB（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）

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2. (2023九上·汉台期末) 如图，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在平面上的F点处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E.求证： $\text{[math]}$ .

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3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ．
对于点 $\text{[math]}$ 给出如下定义：若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“等直点”．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①在点 $\text{[math]}$ 中，线段 $\text{[math]}$ 的“等直点”是 ▲ ；
  ②点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“等直点”，直接写出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．
2. （2）当直线 $\text{[math]}$ 上存在线段 $\text{[math]}$ 的两个“等直点”时，直接写出的取值范围．
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1. (2022九上·杭州开学考) 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图所示，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，坐标分别为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 四点中的任意两点与点 $\text{[math]}$ 为顶点作三角形.则所作的三角形为等腰三角形的概率是（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022九上·哈尔滨月考) 四边形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接四边形，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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1. (2023八下·新都期末) 已知， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中， $\text{[math]}$ 绕着A点逆时针进行旋转，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 旋转至图1位置时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 旋转至图2位置时，发现B，D，E三点恰好共线，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 旋转至图3位置时，线段 $\text{[math]}$ 恰好垂直于 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 交于点F，点F恰好为 $\text{[math]}$ 中点，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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2. (2023八下·成都期末) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为 $\text{[math]}$ ，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点E．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）我们定义：如果一个三角形中有一个内角为 $\text{[math]}$ ，则称这个三角形为“天府三角形”
  ①点F是直线 $\text{[math]}$ 上第一象限内一点，若 $\text{[math]}$ 为“天府三角形”，求点F的坐标；
  
  ②在①的条件下，当点F的横坐标大于 $\text{[math]}$ 时，作点B关于x轴的对称点 $\text{[math]}$ ，点P为直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，点Q为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，求点Q的坐标．
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3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线
y=-x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧，点P是抛物线上一动点）
1. （1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
2. （2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D ，交AB于点当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时 $\text{[math]}$ 的形状，并证明你的结论．
3. （3）在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动线段AB的下方，当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2021·锦州) 如图，△ABC内接于⊙O ， AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E ，若∠BDC＝45°，BC＝6 $\text{[math]}$ ，CE＝2DE ，则CE的长为（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 4 $\text{[math]}$ C . 3 $\text{[math]}$ D . 4 $\text{[math]}$

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2. (2021·新疆) 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D，E是AB的中点，则DE的长为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2022·西藏) 如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．

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