在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠BAD＝∠BAC．

1. (2019·武汉模拟) 在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠BAD＝∠BAC．
1. （1）如图，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图，在AD上有一点E，∠EBA＝∠ACB＝120°．若AC＝2BC＝2，求DE的长；
5. （3）如图，若AB＝AC＝2BC＝4，BE⊥AB交AD于点E，直接写出△BDE的面积．

能力提升真题演练换一批

1. (2023·长安模拟) 如图，已知抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动.
1. （1）直接写出抛物线的解析式：；
2. （2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
3. （3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
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2. (2021·濠江模拟) 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）假设砌墙所用的每块砖块的厚度相同，请你帮小明求出 $\text{[math]}$ 的值．
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3. (2021·高港模拟) 如图，如图，△ABC中，点O是边AB上任意一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AC于E，交AB交于D，给出下列信息：①∠C＝90°；②∠BDF＝∠F；③AC是⊙O的切线；
1. （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题.试判断这个命题是否正确，并说明理由.你选择的条件是，结论是（只要填写序号）.
2. （2）如果CF＝1，sinA= $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径.
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1. (2022·武汉) 如图

问题提出：如图（1）， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 的值.
1. （1）问题探究：
  先将问题特殊化.如图（2），当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
3. （3）问题拓展：
  如图（3），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .直接写出 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）.
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2. (2021·济南) 抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，顶点为C．
1. （1）求抛物线的表达式及点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）如图1，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴于点D，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形，求点P的坐标；
3. （3）如图2，在（2）的条件下，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上（与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）的动点，连接PE，作 $\text{[math]}$ ，边EF交 $\text{[math]}$ 轴于点F，设点F的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围．
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3. (2021·沈阳) 如图，AB是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点A，点E是半径 $\text{[math]}$ 上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交 $\text{[math]}$ 于点C，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：AD是 $\text{[math]}$ 的切线．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．
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