如图，已知，直线分别与、交于点、点 .

1. (2019七下·荔湾期末) 如图，已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °；
3. （2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间满足怎样的关系，请证明你的结论；
5. （3）如图3，在（2）的条件下， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

能力提升真题演练换一批

1. (2021七下·通河期末) 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线交于点 $\text{[math]}$ ．
  ①如图2，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
  
  ②如图3，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧时，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你求出 $\text{[math]}$ 的度数．（用含有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）
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2. (2021七下·额尔古纳期末) 如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上．
1. （1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
2. （2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数．
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3. (2023七下·宁阳期末) 如图，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）请添加一个条件使 $\text{[math]}$ ，并说明理由．
2. （2）在（1）的条件下请探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
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1. (2022·扬州) 如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为 $\text{[math]}$ 轴，高度 $\text{[math]}$ dm.现计划将此余料进行切割：
1. （1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘 $\text{[math]}$ 上且面积最大，求此正方形的面积；
2. （2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘 $\text{[math]}$ 上且周长最大，求此矩形的周长；
3. （3）若切割成圆，判断能否切得半径为 $\text{[math]}$ dm的圆，请说明理由.
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2. (2021·聊城) 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在 $\text{[math]}$ 上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
1. （1）求证：EF是⊙O的切线；
2. （2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
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3. (2022·盐城) 【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的三边为一边的正方形．延长 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明：正方形 $\text{[math]}$ 的面积等于四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
4. （4）【迁移拓展】
  如图2，四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $\text{[math]}$ 下方是否存在平行四边形 $\text{[math]}$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $\text{[math]}$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
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