如图，已知抛物线y＝x2+ax﹣3交x轴于点A，D两点，交y轴于点C，过点A的直线与x轴下方的抛物线交于点B，已知点A的坐标是（﹣1，0）.

1. (2019·永康模拟) 如图，已知抛物线y＝x²+ax﹣3交x轴于点A，D两点，交y轴于点C，过点A的直线与x轴下方的抛物线交于点B，已知点A的坐标是（﹣1，0）.
1. （1）求a的值；
3. （2）连结BD，求△ADB面积的最大值；
5. （3）当△ADB面积最大时，求点C到直线AB的距离.

能力提升真题演练换一批

1. (2023·长春模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b、c为常数）顶点M的坐标为 $\text{[math]}$ ，点P、点Q均在这个抛物线上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为 $\text{[math]}$ ，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．
1. （1）求b和c的值．
2. （2）当点P与点Q重合时，求点P的坐标．
3. （3）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式．
4. （4）矩形 $\text{[math]}$ 的顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当图象G在矩形 $\text{[math]}$ 内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
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2. (2022·遵义) 将正方形 $\text{[math]}$ 和菱形 $\text{[math]}$ 按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 经过点B，点E，G分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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3. (2021·罗庄模拟) 如图，在南北方向的海岸线MN上，有A ， B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A ， B两船相距100（ $\text{[math]}$ +1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D ，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
1. （1）求出A与C之间的距离AC ．
2. （2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C ，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.41， $\text{[math]}$ ≈1.73）
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1. (2021·岳阳) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是， $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，在（1）的条件下，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
  
  ②求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）.
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2. (2022·台州) 图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形 ABCD 各边上分别取点 B_1，C₁ ， D₁ ， A₁ ，使 AB₁=BC₁=CD₁=DA₁= $\text{[math]}$ AB，依次连接它们，得到四边形A₁B₁C₁D₁ ；再在四边形A₁B₁C₁D₁各边上分别取点 B₂ ， C₂ ， D₂ ， A₂ ，使A₁B₂=B₁C₂=C₁D₂=D₁A₂= $\text{[math]}$ A₁B₁ ，依次连接它们，得到四边形 A₂B₂C₂D₂ ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．
1. （1）求证：四边形A₁B₁C₁D₁ 是正方形；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）请研究螺旋折线BB₁B₂B₃ …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
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3. (2021·长沙) 如图，点 $\text{[math]}$ 为以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆的圆心，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在直径 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直径 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数），求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并指明自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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