如图，点O是Rt△ABC斜边AB上的一点，⊙O经过点A与BC相切于点D，分别交AB，AC于E，F，OA＝2cm，AC＝3cm.

1. (2019·永康模拟) 如图，点O是Rt△ABC斜边AB上的一点，⊙O经过点A与BC相切于点D，分别交AB，AC于E，F，OA＝2cm，AC＝3cm.
1. （1）求BE的长；
3. （2）求图中阴影部分的面积.

能力提升真题演练换一批

1. (2022·广元) 如图，在四边形ABCD中，AB $\text{[math]}$ CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE.
1. （1）求证：四边形AECD为菱形；
2. （2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.
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2. (2023·长春模拟) 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m ．
1. （1）求该抛物线的函数表达式．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则n的取值范围是．
3. （3）点M的横坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 轴，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为邻边作正方形 $\text{[math]}$ ．
  ①当抛物线的对称轴平分正方形 $\text{[math]}$ 的面积时，求m的值．
  
  ②设正方形 $\text{[math]}$ 的对称中心为点R ，当点R位于抛物线的对称轴左侧时，点R到抛物线对称轴的距离与点R到x轴的距离相等时，直接写出m的值．
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3. (2021·德城模拟) 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
1. （1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D做BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是，△BCD的面积为；
2. （2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；
3. （3）探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
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1. (2022·贵阳) 交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪 $\text{[math]}$ 和测速仪 $\text{[math]}$ 到路面之间的距离 $\text{[math]}$ ，测速仪 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ ，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪 $\text{[math]}$ 处测得小汽车在隧道入口 $\text{[math]}$ 点的俯角为25°，在测速仪 $\text{[math]}$ 处测得小汽车在 $\text{[math]}$ 点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点 $\text{[math]}$ 行驶到点 $\text{[math]}$ 所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间的距离（结果精确到1m）；
2. （2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点 $\text{[math]}$ 行驶到点 $\text{[math]}$ 是否超速？通过计算说明理由.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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2. (2022·包头) 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是一条对角线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．
  ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②在满足①的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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3. (2022·重庆) 湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸 A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知 C 在A的北偏东 30°方向上，B在A的北偏东 60°方向上，且在C的正南方向 900米处．
1. （1）求湖岸 A 与码头 C 的距离（结果精确到 1 米，参考数据： $\text{[math]}$ =1.732 ）；
2. （2）救援船的平均速度为 150 米/分，快艇的平均速度为 400 米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
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