如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西方向，距离甲地，丙地位于乙地北偏东方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点，可抽象成右图

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1. (2019·呼和浩特) 如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西 $\text{[math]}$ 方向，距离甲地 $\text{[math]}$ ，丙地位于乙地北偏东 $\text{[math]}$ 方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点 $\text{[math]}$ ，可抽象成右图所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长 $\text{[math]}$ （结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2021·于洪模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

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2. (2022·沈阳模拟) 如图，点B，C在 $\text{[math]}$ 的边AM，AN上，点D在 $\text{[math]}$ 内部，连接BD，CD， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ ，求证：AD是 $\text{[math]}$ 的平分线．

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3. (2022·平遥模拟) 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE//DF，EC=BD，∠A=∠F．求证：AE=FB．

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1. 小华将--张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°.
1. （1）连结DE，则线段DE的长为cm.
2. （2）点A，B之间的距离为cm
  （结果精确到0.1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
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2. (2022·凤山模拟) “五一”假期间，小华到小明家邀请小明到新华书店看书，当小华到达CD（点D是小华的眼睛）处时，发现小明在七楼A处，此时测得仰角为45°，继续向前走了10m到达CD′处，发现小明在六楼B处，此时测得仰角为60°，已知楼层高AB=3m，求O $\text{[math]}$ 的长. （结果保留根号）

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3. (2023·渭城模拟) 如图，C是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$

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1. (2021·重庆模拟) 如图，已知， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是位似图形，点 $\text{[math]}$ 是位似中心， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 的面积为2，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 4 B . 8 C . 12 D . 18

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2. (2021·西藏) 计算：（π﹣3）⁰＋（﹣ $\text{[math]}$ ）^﹣²﹣4sin30°＝.

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3. (2022·岚山模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从A点出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作 $\text{[math]}$ 于点D，则 $\text{[math]}$ 的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（）

A . B . C . D .

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1. (2022七下·大连期末) P是∠BAC内一点，射线PD//AB，射线PE//AC，连接BC，当点D在线段BC上，点E在射线AB上时，
1. （1）补全图形；
2. （2）猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明．
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2. (2023九上·平山期中) 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①，图②，图③均为顶点在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）.
1. （1）在图中，图①经过变换可以得到图②（填“平移”“旋转”或“轴对称”）；
2. （2）在图中画出图①绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到的图形；
3. （3）在图中，图③可由图②经过一次旋转变换得到，其旋转中心是点（填“A”“B”或“C”）.
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3. (2021·连云港) 如图，点C是 $\text{[math]}$ 的中点，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形.
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