如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一

1. (2019八下·巴南月考) 如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.
1. （1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由
3. （2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（ $\text{[math]}$ ，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.

能力提升真题演练换一批

1. (2021八下·利辛期中) 观察下列等式，根据其中的规律解决下列问题：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；…．
1. （1）根据规律写出第6个等式；
2. （2）根据规律用n（n为正整数）表示出第n个等式，并加以证明．
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2. (2023八下·曾都期末) 观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式： $\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ ；

第2个等式： $\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ ；

第3个等式： $\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ ．
1. （1）请写出第4个等式，并验证；
2. （2）按照以上各等式反映的规律，猜想第 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 为正整数，且 $\text{[math]}$ 等式，并通过计算验证你的猜想．
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3. (2023八下·中山期中) 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
小华是这样解答的： $\text{[math]}$ ，请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
1. （1）填空： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
2. （2）化简： $\text{[math]}$ ．
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1. (2021·泰州)
1. （1）分解因式：x³﹣9x；
2. （2）解方程： $\text{[math]}$ +1＝ $\text{[math]}$ .
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2. (2022·重庆) 对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.

又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.
1. （1）判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由；
2. （2）三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 $\text{[math]}$ 为整数，求出满足条件的所有数 A．
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3. (2022·杭州) 计算：(-6) ×( $\text{[math]}$ -■)-2³ ．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了。
1. （1）如果被污染的数字是 $\text{[math]}$ ．请计算(-6)×( $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ )-2³ ．
2. （2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
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