如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为，为中点，，，， .当点位于初始位置时，点与重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与垂直时，遮阳效

1. (2019·本溪模拟) 如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱 $\text{[math]}$ 垂直于地面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当点 $\text{[math]}$ 位于初始位置 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与 $\text{[math]}$ 垂直时，遮阳效果最佳.

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为 $\text{[math]}$ （图3），为使遮阳效果最佳，点 $\text{[math]}$ 需从 $\text{[math]}$ 上调多少距离？（结果精确到 $\text{[math]}$ ）
3. （2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点 $\text{[math]}$ 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 $\text{[math]}$ ）

能力提升真题演练换一批

1. (2022·道外模拟) 已知： $\text{[math]}$ 内接于⊙O，弦AF平分 $\text{[math]}$ ，连接OF交BC于G．
1. （1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，过点B作 $\text{[math]}$ 于点T，BT延长线交AC于点E，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为等边三角形；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，在⊙O上再取D、N两点，连接AD、BN交于点H，连接HE，若HE平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径．
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2. (2022·榆阳模拟) 榆林市新闻大厦设计融合了陕北窑洞和民间剪纸艺术，“H”型的双塔建筑隐寓榆林开诚、开放、开明、开创的城市精神，大厦双塔建筑既独立又统一的建筑艺术美，是西部地区文化传媒类项目中的精品.某实践小组欲测量新闻大厦的高度，如图为新闻大厦的大致结构示意图（其底部B处可以到达，顶部A处不易到达，且 $\text{[math]}$ 垂直于地面），请你根据下列条件，帮该实践小组设计一种测量方案：
条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行；
条件二：测量者只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮卷尺三种工具.
1. （1）你所选用的测量工具是；（填序号）
2. （2）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（不要求写出测量过程）；（线段长度用a，b，c……表示）
3. （3）根据你的测量数据，计算该新闻大厦的高度 $\text{[math]}$ .（用含a、b、c……的式子表示）
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3. (2023·攀枝花模拟) 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的 $\text{[math]}$ 为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点 $\text{[math]}$ 处时，测得天花板上日光灯 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，此时他的眼睛 $\text{[math]}$ 与地面的距离 $\text{[math]}$ ，之后他沿一楼扶梯到达顶端 $\text{[math]}$ 后又沿 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）向正前方走了 $\text{[math]}$ ，发现日光灯 $\text{[math]}$ 刚好在他的正上方．已知自动扶梯 $\text{[math]}$ 的坡度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度是 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）求图中 $\text{[math]}$ 到一楼地面的高度．
2. （2）求日光灯 $\text{[math]}$ 到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）
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1. (2021·鄂尔多斯) 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
1. （1）尝试解决：如图①，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A旋转后得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
2. （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点B ， $\text{[math]}$ 于点D ，点P、Q分别是 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．（结果用a表示）
3. （3）拓展应用：如图③，已知四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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2. (2021·张家界) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求弧 $\text{[math]}$ 的长.
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3. (2022·河南) 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内.当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.
1. （1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°.
2. （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得 $\text{[math]}$ .已知铁环⊙O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长.
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