如图，正三角形 ABC 的边长为 1，点 P 从 B 点出发沿 B－ C 运动至点以 C，点 Bʹ是点 B 关于直线 AP 对称的点．

1. (2019九上·台州期末) 如图，正三角形 ABC 的边长为 1，点 P 从 B 点出发沿 B－ C 运动至点以 C，点 Bʹ是点 B
关于直线 AP 对称的点．
1. （1）点 P 从点 B 运动至 C 过程中，下列说法正确的有．（填序号）
  ①当点 P 运动到 C 时，线段 AP 长为 1；②点 Bʹ沿直线从 B 运动到 Bʹ；
  
  ③点 Bʹ沿圆弧从 B 运动到 Bʹ
3. （2）点 P 从点 B 运动至 C 的过程中，点 Bʹ从起点到终点的运动路程的长是．

能力提升真题演练换一批

1. (2023九上·诸暨期末) 已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB
1. （1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是.
2. （2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.
3. （3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC=2 $\text{[math]}$ ，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.
答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2021九上·蒙阴期中)
1. （1）如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点(不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合)，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试探索线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
2. （2）如图②，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上，试探索线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2021九上·浦东期中) 已知，如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作 $\text{[math]}$ ，交BD与点F，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当t为何值时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形；
2. （2）设五边形OECQF的面积为 $\text{[math]}$ ，求S关于t的函数关系式；
3. （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分 $\text{[math]}$ ?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析收藏纠错 + 选题

1. (2021·济宁) 如图，点C在以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 上，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点E ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点P ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2022·四川) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）求点P的坐标；
3. （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2022·徐州) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）点 $\text{[math]}$ 是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 为正方形．
  ①求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值；
  
  ②若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，当 $\text{[math]}$ 最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
答案解析收藏纠错 + 选题