立方米）

居民生活用水

阶梯一

0~18（含18）

1.90

1.00

阶梯二

18~25（含25）

2.85

阶梯三

25以上

5.70

（注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费）

（1）当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是元/立方米.
（2） 4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：
18×（1.90+1.00）+2×（2.85+1.00）=59.90（元）

预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费.
（3）为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议

能力提升真题演练换一批

1. (2023·黔江模拟) 阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.
对数的定义：一般地，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），那么x叫做以a为底N的对数，记作 $\text{[math]}$ ，比如指数式 $\text{[math]}$ 可以转化为对数式 $\text{[math]}$ ，对数式 $\text{[math]}$ ，可以转化为指数式 $\text{[math]}$ .
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），理由如下：
设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，由对数的定义得 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ .
请解决以下问题：
1. （1）将指数式 $\text{[math]}$ 转化为对数式；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
3. （3）拓展运用：计算 $\text{[math]}$ .
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2. (2022·天长模拟) 观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
1. （1）填写下表：
  图形
  挖去三角形的个数
  图形1
  1
  图形2
  1＋3
  图形3
  1＋3＋9
  图形4
2. （2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数 $\text{[math]}$ （用含n的代数式表示）；
3. （3）若图 $\text{[math]}$ 中挖去三角形的个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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3. (2021·安徽模拟) 观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．
1. （1）试猜想 $\text{[math]}$ ；
2. （2）试猜想 $\text{[math]}$ ；
3. （3）按上述规律计算： $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2021·山西)
1. （1）计算： $\text{[math]}$ ．
2. （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
  $\text{[math]}$
  
  解： $\text{[math]}$ 第一步
  
  $\text{[math]}$ 第二步
  
  $\text{[math]}$ 第三步
  
  $\text{[math]}$ 第四步
  
  $\text{[math]}$ 第五步
  
  任务一：填空：
  
  ①以上解题过程中，第二步是依据（运算律）进行变形的；
  
  ②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；
  
  任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
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2. (2021·巴中)
1. （1）计算：2sin60°+| $\text{[math]}$ 2|﹣（ $\text{[math]}$ ）^﹣¹ $\text{[math]}$ ；
2. （2）解不等式组 $\text{[math]}$ ，并把解集在数轴上表示出来；
3. （3）先化简，再求值： $\text{[math]}$ （1 $\text{[math]}$ ），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值.
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3. (2022·西宁) 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 $\text{[math]}$ 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式 $\text{[math]}$
解法二：原式 $\text{[math]}$
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
1. （1）【类比】
  请用分组分解法将 $\text{[math]}$ 因式分解；
2. （2）【挑战】
  请用分组分解法将 $\text{[math]}$ 因式分解；
3. （3）【应用】
  “赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和 $\text{[math]}$ ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将 $\text{[math]}$ 因式分解，再求值．
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类别	月用水量（立方米）		供水价格（元/立方米）	污水处理费（元/立方米）
居民生活用水	阶梯一	0~18（含18）	1.90	1.00
	阶梯二	18~25（含25）	2.85
	阶梯三	25以上	5.70

图形	挖去三角形的个数
图形1	1
图形2	1＋3
图形3	1＋3＋9
图形4

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