2016-2017学年北京市朝阳区高三上学期期中数学试卷（理...

更新时间：2016-12-17 浏览次数：676 类型：期中考试

一、选择题

1. 已知全集U=R，集合A={x|x²﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁_UB=（）

A . {x|0＜x＜1} B . {x|x＜0} C . {x|x＞2} D . {x|1＜x＜2}

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2. 下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）

A . y=x² B . y=x+1 C . y=﹣lg|x| D . y=﹣2^x

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3. 若a=log_2.10.6，b=2.1^0.6 ， c=log_0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）

A . a＞b＞c B . b＞c＞a C . c＞b＞a D . b＞a＞c

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4. 已知函数f（x）=ax²﹣x，若对任意x₁ ， x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂ ，不等式 $\text{[math]}$ ＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设m∈R且m≠0，“不等式m+ $\text{[math]}$ ＞4”成立的一个充分不必要条件是（）

A . m＞0 B . m＞1 C . m＞2 D . m≥2

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6. 已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0，| $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 则函数g（x）=f（f（x））﹣ $\text{[math]}$ 的零点个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）

A . 总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 B . 总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 C . 总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 D . 总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

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二、填空题

9. 设平面向量 $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ =（﹣2，y），若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则y=．

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10. 函数f（x）=cos²x﹣sin²x的单调递减区间为．

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11. 各项均为正数的等比数列{{a_n}的前n项和为S_n ，若a₃=2，S₄=5S₂ ，则a₁的值为，S₄的值为．

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12. 已知角A为三角形的一个内角，且 $\text{[math]}$ ，则tanA=，tan（A+ $\text{[math]}$ ）=．

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13. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．

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14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．

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三、解答题

15. 已知数列{a_n}（n∈N^*）是公差不为0的等差数列，a₁=1，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）设数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和为T_n ，求证：T_n＜1．
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16. 已知函数f（x）=asinx﹣ $\text{[math]}$ cosx（a∈R）的图象经过点（ $\text{[math]}$ ，0）．
1. （1）求f（x）的最小正周期；
2. （2）若x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，求f（x）的取值范围．
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17. 如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC= $\text{[math]}$ ．
1. （1）求sin∠DBC；
2. （2）求AD．
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18. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
1. （1）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；
2. （2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减．
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19. 已知函数f（x）=e^x（x²﹣a），a∈R．
1. （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
2. （2）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；
3. （3）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．
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20. 设a，b是正奇数，数列{c_n}（n∈N^*）定义如下：c₁=a，c₂=b，对任意n≥3，c_n是c_n_﹣₁+c_n_﹣₂的最大奇约数．数列{c_n}中的所有项构成集合A．
1. （1）若a=9，b=15，写出集合A；
2. （2）对k≥1，令d_k=max{c_2k ， c_2k_﹣₁}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：d_k₊₁≤d_k；
3. （3）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．】
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