2016年浙江省杭州市高级中学高考数学模拟试卷（理科）（5月...

更新时间：2016-10-19 浏览次数：946 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知集合M={x|x²﹣1≤0}，N={x| $\text{[math]}$ ＜2^x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）

A . {﹣1，0} B . {1} C . {﹣1，0，1} D . ∅

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2. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，则函数g（x）=f（f（x））﹣2在区间（﹣1，3]上的零点个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. 已知2^x=7^2y=A，且 $\text{[math]}$ ，则A的值是（）

A . 7 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 98

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4. 设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“∠C＞90°”的一个充分非必要条件是（）

A . sin²A+sin²B＜sin²C B . sinA= $\text{[math]}$ ，（A为锐角），cosB= $\text{[math]}$ C . c²＞2（a+b﹣1） D . sinA＜cosB

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5. 已知数列{a_n}中，a_n+1=3S_n ，则下列关于{a_n}的说法正确的是（　　）

A . 一定为等差数列 B . 一定为等比数列 C . 可能为等差数列，但不会为等比数列 D . 可能为等比数列，但不会为等差数列

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6. 已知不等式组 $\text{[math]}$ 所表示的平面区域为M，不等式组 $\text{[math]}$ 所表示的平面区域为N，若M中存在点在圆C：（x﹣3）²+（y﹣1）²=r²（r＞0）内，但N中不存在点在圆C内．则r的取值范围是（）

A . （0， $\text{[math]}$ ] B . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） C . （0， $\text{[math]}$ ） D . （0， $\text{[math]}$ ）

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7. 已知双曲线方程为 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0），A（0，b），C（0，﹣b），B是双曲线的左顶点，F是双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于D，若双曲线离心率为2，则∠BDF的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2017·杭州模拟) 如图，点P在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的表面上运动，且P到直线BC与直线C₁D₁的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（　　）

A . B . C . D .

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二、填空题

9. 在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₁+a₄=12，则a_n=；设 $\text{[math]}$ ，则数列{b_n}的前n项和S_n=．

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10. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．

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11. 函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则函数表达式为；若将该函数向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ 倍得到函数g（x）=．

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12. 设圆x²+y²=12与抛物线x²=4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为P₁ ， P₂ ， P₃ ， P₄ ，则|P₁P₂|+|P₃P₄|的值，若直线m与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧 $\text{[math]}$ 上，则|MF|+|NF|的取值范围是．

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13. 设a，b，c为正数，且a+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．则3a²+2bc+2ac+3ab的最大值为．

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14. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值等于．

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15. 如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为15°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值为．

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三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对边，a+b=4，（2﹣cosA）tan $\text{[math]}$ =sinA．
1. （1）求边长c的值；
2. （2）若E为AB的中点，求线段EC的范围．
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17.
在矩形ABCD中，AB=4 $\text{[math]}$ ，AD=2 $\text{[math]}$ ，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．
1. （1）当θ=90°时，求A′C的长；
2. （2）当cosθ= $\text{[math]}$ 时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．
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18. 设函数f（x）=x²﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．
1. （1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[﹣2，0]上有两个零点，求实数a的取值范围；
2. （2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）≤0与g（x₀）≤0同时成立，求实数a的最小值．
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19. 如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= $\text{[math]}$ ，且过点A（﹣2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．
1. （1）求椭圆标准方程；
2. （2）求证：直线PQ的斜率为定值；
3. （3）求△OPQ的面积的最大值．
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20. 数列{a_n}定义为a₁＞0，a₁₁=a，a_n+1=a_n+ $\text{[math]}$ a_n² ， n∈N^*
1. （1）若a₁= $\text{[math]}$ （a＞0），求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当a＞0时，定义数列{b_n}，b₁=a_k（k≥12），b_n+1=﹣1+ $\text{[math]}$ ，是否存在正整数i，j（i≤j），使得b_i+b_j=a+ $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ ﹣1．如果存在，求出一组（i，j），如果不存在，说明理由．
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