一、/span><strong><span>、选择题</span></strong><strong><span>:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.</span></strong>
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A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
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5.
某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高
与父亲身高
之间的关系,抽样调查后得出
与
线性相关,且经验回归方程为
.调查所得的部分样本数据如下:
父亲身高 | 164 | 166 | 170 | 173 | 173 | 174 | 180 |
儿子身高 | 165 | 168 | 176 | 170 | 172 | 176 | 178 |
则下列说法正确的是( )
A . 儿子身高是关于父亲身高的函数
B . 当父亲身高增加时,儿子身高增加
C . 儿子身高为时,父亲身高一定为
D . 父亲身高为时,儿子身高的均值为
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6.
已知数列
满足
, 对任意
都有
, 且对任意
都有
, 则实数
的取值范围是( )
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7.
在正四棱台
中,
, 若球
与上底面
以及棱
均相切,则球
的表面积为( )
-
8.
已知集合
且
, 若
中的点均在直线
的同一侧,则实数
的取值范围为( )
二、/span><strong><span>、多选题</span></strong><strong><span>:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.</span></strong>
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A . 的最小值为2
B . 的最大值为5
C . 的最小值为2
D . 的最大值为
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三、/span><strong><span>、填空题</span></strong><strong><span>:本题共3小题,每小题5分,共15分.</span></strong>
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13.
某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙,需要经过5个转运环节,其中第1,2两个环节各有
两种运输方式,第3,4两个环节各有
两种运输方式,第5个环节有
两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有
种.
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14.
在平面直角坐标系
中,定义
为
两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆
, 点
在椭圆
上,
轴.点
满足
.若直线
与
的交点在
轴上,则
的最大值为
.
四、/span><strong><span>、解答题</span></strong><strong><span>:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明</span></strong><strong><span>、证明过程或演算步骤</span></strong><strong><span>.</span></strong>
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15.
在菱形
中,
, 以
为轴将菱形
翻折到菱形
, 使得平面
平面
, 点
为边
的中点,连接
.
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(2)
求直线
与平面
所成角的正弦值.
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16.
已知等差数列
的公差为2,记数列
的前
项和为
且满足
.
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(1)
证明:数列
是等比数列;
-
-
17.
三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动,红包的总金额数为
个单位.第一个人抢到的金额数为1到
个单位且等可能(记第一个人抢完后剩余的金额数为
),第二个人在剩余的
个金额数中抢到1到
个单位且等可能,第三个人抢到剩余的所有金额数,并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后,获得金额数最高的人称为手气王(若有多人金额数相同且最高,则先抢到最高金额数的人称为手气王).
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(1)
若
, 则第一个人抢到的金额数可能为
个单位且等可能.
(i)求第一个人抢到金额数的分布列与期望;
(ii)求第一个人获得手气王的概率;
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(2)
在三个人抢到的金额数为
的一个排列的条件下,求第一个人获得手气王的概率.
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18.
已知双曲线
, 上顶点为
.直线
与双曲线
的两支分别交于
两点(
在第一象限),与
轴交于点
.设直线
的倾斜角分别为
.
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(1)
若
,
(i)若 , 求;
(ii)求证:为定值;
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(2)
若
, 直线
与
轴交于点
, 求
与
的外接圆半径之比的最大值.
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(1)
求证:函数
是单峰函数;
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(2)
已知
为函数
的最优点,
为函数
的最优点.
(i)求证:;
(ii)求证:.
注:.