湖北省武汉市武昌区2023-2024学年高二下学期3月月考数...

更新时间：2024-04-22 浏览次数：12 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2018高二上·武汉期末) 设函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . -6 B . -3 C . 3 D . 6

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2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最小距离为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 存在单调递减区间，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高二下·邢台月考) 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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6. 设定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 恒成立，其导函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 有唯一的极值点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则a的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 只有一个零点 B . $\text{[math]}$ 恒成立 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处得到极大值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的增函数

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10. (2024高二下·罗湖月考) 已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为 $\text{[math]}$ ，双曲正弦函数为 $\text{[math]}$ ．则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是奇函数

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11. 已知连续函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ 的图象关于y轴对称，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上至少有2个零点 D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 函数 $\text{[math]}$ 的单调递减区间为.

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13. 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在最小值，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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14. 若存在 $\text{[math]}$ 使对于任意 $\text{[math]}$ 不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的最小值为

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (2024高二上·杭州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，直线l： $\text{[math]}$ 与x轴交于点A ．
1. （1）求过点A的 $\text{[math]}$ 的切线方程；
2. （2）若点B在函数 $\text{[math]}$ 图象上，且 $\text{[math]}$ 在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
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16. 已知函数 $\text{[math]}$ （a ， $\text{[math]}$ ），其图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a ， b的值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
3. （3）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值．
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17. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数．
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 取极大值，求实数a的值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在定义域内有两个不同的极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  （i）求实数a的取值范围；
  （ii）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ .
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19. 给出下列两个定义：
I．对于函数 $\text{[math]}$ ，定义域为 $\text{[math]}$ ，且其在 $\text{[math]}$ 上是可导的，若其导函数定义域也为 $\text{[math]}$ ，则称该函数是“同定义函数”.
II．对于一个“同定义函数” $\text{[math]}$ ，若有以下性质：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为两个新的函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 $\text{[math]}$ 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 $\text{[math]}$ 称之为“双向导函数”，将 $\text{[math]}$ 称之为“自导函数”.
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
2. （2）已知命题 $\text{[math]}$ 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题 $\text{[math]}$ .判断命题 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的什么条件，证明你的结论；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ .
  ①若 $\text{[math]}$ 的“自导函数”是 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②若 $\text{[math]}$ ，且定义 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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