安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题

更新时间：2024-04-10 浏览次数：36 类型：高考模拟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是z的共轭复数，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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3. 设F是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P ， Q两点，则 $\text{[math]}$ 的周长的最小值为（）

A . 12 B . 14 C . 16 D . 18

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4. 在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）

A . 80 B . 78 C . 76 D . 74

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5. 设 $\text{[math]}$ 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“ $\text{[math]}$ 为递减数列”是“存在正整数 $\text{[math]}$ ，对任意的正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O是坐标原点，点B满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上没有最小值，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是棱 $\text{[math]}$ 上任意一点（端点除外），则（）

A . 不存在点E ，使得 $\text{[math]}$ B . 空间中与三条直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都相交的直线有且只有1条 C . 过点E与平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角都等于 $\text{[math]}$ 的直线有且只有1条 D . 过点E与三条棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所成的角都相等的直线有且只有4条

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知定义在R上的函数 $\text{[math]}$ ，满足对任意的实数x ， y ，均有 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 为减函数 D . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称

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10. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，经过点F且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线l与抛物线C交于A ， B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 面积的最大值为2 C . 点E在一条定直线上 D . 设直线 $\text{[math]}$ 倾斜角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为定值

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11. 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ 称为卢卡斯数列，则（）

A . 存在非零实数t ，使得 $\text{[math]}$ 为等差数列 B . 存在非零实数t ，使得 $\text{[math]}$ 为等比数列 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为．

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13. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径 $\text{[math]}$ ．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为．

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14. 剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为 $\text{[math]}$ 的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为；以曲线C上点 $\text{[math]}$ 为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在平面凸四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的取值范围．
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17. 如图，将边长为2的菱形 $\text{[math]}$ 沿其对角线 $\text{[math]}$ 对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边 $\text{[math]}$ 所在平面的两侧，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设E是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值．
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18. 树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．
第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值 $\text{[math]}$ 时体能指标合格；
第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ， B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．
经过统计，该校学生身体体能指标 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ．
参考数值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
1. （1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；
2. （2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为 $\text{[math]}$ ，作答B类试题，每次测试合格的概率为 $\text{[math]}$ ，且每次测试相互独立．
  ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．
  ②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X ，求X的分布列和数学期望．
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19. 取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：
设 $\text{[math]}$ ，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 称为取整函数．另外也称 $\text{[math]}$ 是x的整数部分，称 $\text{[math]}$ 为x的小数部分．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设a ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
3. （3）对于任意一个大于1的整数a ， a能唯一写为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为质数， $\text{[math]}$ 为整数，且对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， i ， $\text{[math]}$ ，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为 $\text{[math]}$ ．证明：在 $\text{[math]}$ 的标准分解式中，质因数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的指数 $\text{[math]}$ ．
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