湖南省邵阳市2024届高三上学期1月第一次联考（一模）数学试...

更新时间：2024-04-01 浏览次数：30 类型：高考模拟

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . -1 C . 1 D . 2

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3. 命题“ $\text{[math]}$ ”的否定为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点的距离是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）

A . 110 B . 144 C . 132 D . 156

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6. 已知向量 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在某次美术专业测试中，若甲､乙､丙三人获得优秀等级的概率分别是 $\text{[math]}$ 和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲､乙､丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·温州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的有（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 下列命题中，说法正确的有（）

A . 设随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数 $\text{[math]}$ 越接近于1 C . 决定系数 $\text{[math]}$ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 D . 基于小概率值 $\text{[math]}$ 的检验规则是：当 $\text{[math]}$ 时，我们就推断 $\text{[math]}$ 不成立，即认为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，我们没有充分证据推断 $\text{[math]}$ 不成立，可以认为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 独立

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 与其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为偶函数，则下列说法一定正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 是长方形， $\text{[math]}$ ，半圆面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为半圆弧 $\text{[math]}$ 上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合）.下列说法正确的有（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的四个面都是直角三角形 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为4 C . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离的取值范围为 $\text{[math]}$ D . 当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角最大时，平面 $\text{[math]}$ 截四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的截面面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. (2024高三上·广东模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·衡阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 $\text{[math]}$ ，它们的离心率分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为它们的一个交点，且 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ 的值为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 甲､乙､丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲､乙､丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：
甲： $\text{[math]}$ .
乙： $\text{[math]}$ .
丙： $\text{[math]}$ .
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的知识竞赛成绩相互独立.
1. （1）估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 表示甲､乙､丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ .
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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 最大时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为圆台的两条不同的母线.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）截面 $\text{[math]}$ 与下底面所成的夹角大小为 $\text{[math]}$ ，且截面截得圆台上底面圆的劣弧 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ，求截面 $\text{[math]}$ 的面积.
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20. 已知递增的等差数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 成等比数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的短轴长为 $\text{[math]}$ ，左顶点到左焦点的距离为1.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）如图所示，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，且都在 $\text{[math]}$ 轴的上方，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .证明： $\text{[math]}$ .
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 有三个不相等的实数根，分别记为 $\text{[math]}$ .
  ①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②证明 $\text{[math]}$ .
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