一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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1.
已知复数
, 则
( )
-
2.
若集合
, 则集合
A的子集的个数为( )
A . 2
B . 3
C . 4
D . 8
-
-
4.
在等差数列
中,
, 其前
n项之和为
, 若
, 则
( ).
A . 10
B . 100
C . 110
D . 120
-
5.
中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( )
A . 30种
B . 50种
C . 60种
D . 90种
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6.
已知圆
, 直线
,
l与圆
C相交于
A、
B两点,当弦长
最短时,直线
l的方程为( )
-
-
8.
设
,
分别是双曲线
的左、右焦点,
O为坐标原点,过左焦点
作直线
与圆
切于点
E , 与双曲线右支交于点
P , 且满足
, 则双曲线的离心率为( )
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
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9.
某校1500名学生参加“校园安全”知识竞赛,随机抽取了40名学生的竞赛成绩(单位:分),成绩的频率分布直方图如图所示,则( )
A . 频率分布直方图中a的值为0.005
B . 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C . 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D . 估计总体中成绩落在内的学生人数为225
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-
-
12.
已知抛物线
的焦点为
F , 过
F作两条互相垂直的直线
,
,
与
C相交于
P、
Q ,
与
C相交于
M ,
N ,
的中点为
G ,
的中点为
H , 则( )
A .
B .
C . 的最大值为16
D . 当最小时,直线的斜率不存在
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
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13.
函数
在点
处的切线方程为
.
-
14.
已知
, 则
.
-
15.
某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作,每个社区至少安排1名志愿者,每个志愿者只能安排到1个社区,则所有排法的总数为.
-
16.
若函数
有2个零点,则实数
a的取值范围是
.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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17.
设
a为实数,函数
.
-
(1)
求
的极值;
-
(2)
当
a在什么范围内取值时,曲线
与
x轴仅有一个交点?
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18.
如图,在四棱锥
中,底面
是正方形,
底面
,
, 点
F是棱
的中点,点
E是棱
上靠近点
D的三等分点.
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(1)
证明:
;
-
(2)
求点
B到平面
的距离.
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19.
在
中,角
A ,
B ,
C的对边分别是
a ,
b ,
c , 且
.
-
-
-
20.
记数列
的前
n项和为
, 对任意正整数
n , 有
, 且
.
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-
-
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21.
在平面直角坐标系
中、椭圆
的左、右顶点为
A ,
B , 上顶点
K满足
.
-
-
(2)
过点
的直线与椭圆
C交于
M ,
N两点.设直线
和直线
相交于点
P , 直线
和直线
相交于点
Q , 直线
与
x轴交于
S.证明:
是定值.
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22.
已知函数
,
.
-
(1)
讨论函数
的单调性;
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(2)
若对任意的
, 都有
恒成立,求
a的取值范围.