备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第4章一元二次方程...

更新时间：2024-01-26 浏览次数：52 类型：一轮复习

一、一元二次方程定义

1. (2023九上·溆浦期中) 下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023九上·阜阳月考) 将关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2020·石狮模拟) 若 $\text{[math]}$ 是关于方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
2. （2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根.
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二、一元二次方程根与系数的关系

5. (2021八下·吴兴期末) 一元二次方程x²﹣3x+3＝0的根的情况是（）．

A . 有两个相等的实数根 B . 有两个不相等的实数根 C . 没有实数根 D . 不能确定

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6. (2020·广州) 直线 $\text{[math]}$ 不经过第二象限，则关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 实数解的个数是（）.

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 1个或2个

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7. (2021·泰安) 已知关于x的一元二次方程kx²﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A . k＞﹣ $\text{[math]}$ B . k＜ $\text{[math]}$ C . k＞﹣ $\text{[math]}$ 且k≠0 D . k＜ $\text{[math]}$ 且k≠0

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8. (2023·黄石) 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，该方程的正根称为黄金分割数 $\text{[math]}$ 宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
1. （1）求黄金分割数；
2. （2）已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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三、一元二次方程解法

9. (2023八下·上城期末) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ ），下列 $\text{[math]}$ 的值，哪个一定不是方程的解（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023八下·洞头) 若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的解为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023八下·杭州期中) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023八下·北京市期中) 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以 $\text{[math]}$ 为例，大致过程如下：

第一步：将原方程变形为 $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ ．

第二步：构造一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．

第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．

第四步：

将大正方形边长用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示为____．

小正方形边长为常数____，

长方形面积之和为常数____．

由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程____，两边开方可求得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）第四步中横线上应依次填入，，，；
2. （2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程 $\text{[math]}$ ．
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13. (2023八下·南岸期末) 当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小，从而得到原方程的两个根．
已知：关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根．
解：因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，得新方程 $\text{[math]}$ ．
因为新方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以原方程的两个根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”．
举例：用缩根法解方程 $\text{[math]}$ ．
解：因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，得新方程 $\text{[math]}$ ．
解新方程，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以原方程的两个根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
请利用上面材料中的缩根法解下列方程：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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14. (2023八下·雨花期末) 请阅读下列材料：
问题：已知方程 $\text{[math]}$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 代入已知方程，得 $\text{[math]}$ ；化简，得 $\text{[math]}$ ；故所求方程为 $\text{[math]}$ ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
1. （1）已知方程 $\text{[math]}$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
2. （2）已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
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15. (2023八下·温州期中) 根据以下材料，完成题目．
材料一：数学家欧拉为了解决一元二次方程 $\text{[math]}$ 在实数范围内无解的问题，引进虚数单位 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，形如 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数）的数统称为虚数．比如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为实数．

材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数．且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）有如下运算法则

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

材料三：关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数且a≠0）如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为 $\text{[math]}$ ．

解答以下问题：
1. （1）填空：化简 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有一个根是 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是实数，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 无实数根，且 $\text{[math]}$ 为正整数，求该方程的虚数根．
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四、销售利润问题

16. (2023八下·瑞安期中) 电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. (2023九上·丰南期中) 某纪念品原价168元，连续两次降价 $\text{[math]}$ 后售价为128元；下列所列方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. (2023八下·江北期末) 年糕饺是宁波的特色美食，其以年糕为皮，可咸可甜的馅料裹于其中，口感软糯平实．今有某店铺销售年糕饺，通过分析销售情况发现，年糕饺的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价定为18元/盒时，日销售利润为750元．
销售单价x（元/盒）
15
17
日销售量y（盒）
150
100
1. （1）求年糕饺的日销售量y（盒）关于销售单价x（元/盒）的函数表达式．
2. （2）求年糕饺每盒的成本价．
3. （3）端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价x（元/盒）定为多少时，日销售利润为1000元？
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五、增长率问题

19. (2023九上·麒麟月考) 一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为．

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20. (2023八下·青秀期末) $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 是第 $\text{[math]}$ 个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院 $\text{[math]}$ 人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院 $\text{[math]}$ 人次，若进书院人次的月平均增长率为 $\text{[math]}$ ，则可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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21. (2023八下·宁波期末) 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的A汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现A汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.
1. （1）求A汽车销量的月平均增长率.
2. （2）为了扩大A汽车的市场占有量，提升A汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施（降价幅度不超过售价的10%）.经调查发现，当A汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若A汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆，若销售额要达到440万元，则每辆A汽车需降价多少万元？
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六、面积问题

22. (2023八下·杭州期中) 如图，在一块长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形 $\text{[math]}$ 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 $\text{[math]}$ ，设道路宽为 $\text{[math]}$ ，则以下方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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23. (2023九上·平定期中) 某农场要建一个饲养场（矩形 $\text{[math]}$ ），两面靠墙（ $\text{[math]}$ 位置的墙最大可用长度为25m， $\text{[math]}$ 位置的墙最大可用长度为21m），另外两边用木栏围成，中间用木栏隔成两个小矩形并在如图所示的两处各留1m宽的门（不用木栏），建成后木栏总长50m．
1. （1）若饲养场（矩形 $\text{[math]}$ ）的面积为 $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）小芳说：“饲养场的面积最多能达到 $\text{[math]}$ ． ”若能达到，求出边 $\text{[math]}$ 的长；若不能达到，请说明理由．
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24. (2023八上·上海市期中) 如图，用总长为80米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD ，花圃中间有一条2米宽的人行通道，园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域，鲜花种植总面积为192平方米，花圃的一边靠墙，墙长20米，求AB和BC的长.

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七、传染病，比赛问题

25. (2023八下·萧山期末) 2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了 $\text{[math]}$ 人，则根据题意可列出方程（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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26. (2023八下·福州期末) 某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有 $\text{[math]}$ 支球队参加比赛，则所列方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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八、几何综合-方程思想

27. (2023八下·杭州月考) 如图所示， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始沿 $\text{[math]}$ 边向 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动.如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，经过几秒，使 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？
2. （2）在（1）的运动情况下，线段 $\text{[math]}$ 能否将 $\text{[math]}$ 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
3. （3）若 $\text{[math]}$ 点沿射线 $\text{[math]}$ 方向从 $\text{[math]}$ 点出发以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向从 $\text{[math]}$ 点出发以 $\text{[math]}$ 的速度移动， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，问几秒后， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？
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28. 在欧几里得的《几何原本》中，形如 $\text{[math]}$ 的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB=90°，BC= $\text{[math]}$ ， AC=b，再在斜边AB上截取 $\text{[math]}$ 连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
1. （1）用含a，b的代数式表示AD的长.
2. （2）图中哪条线段的长是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个正根?请说明理由.
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29. (2023九上·永修期中) 综合与实践
问题情景：小琴在延时服务剪纸课上发现了奇妙的数学知识，可以利用方程解决剪纸问题中的剩余面积问题．
1. （1）独立思考：如图1，长方形纸片 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ ，按如图方式剪下一个宽为 $\text{[math]}$ 的小长方形，若剩余长方形面积为 $\text{[math]}$ ，则x的值为．
2. （2）实践探究：如图2，M为 $\text{[math]}$ 上一点，N为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，沿着 $\text{[math]}$ 剪下一个 $\text{[math]}$ ，若剩余部分图形面积为 $\text{[math]}$ ，求x的值．
3. （3）问题解决：如图3，将长方形纸片 $\text{[math]}$ 剪掉一个宽为 $\text{[math]}$ 的边框，剩余面积能否为 $\text{[math]}$ ，若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
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九、一元二次方程多结论问题

30. (2023八下·上海市期中) 若x为实数，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 无法确定

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31. (2023八下·余杭期中) 对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，下列说法：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实根，则方程 $\text{[math]}$ 必有两个不相等的实根；③若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则一定有 $\text{[math]}$ 成立；④若 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根，则 $\text{[math]}$ ；⑤存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
其中正确的（）

A . 只有①②④ B . 只有①②④⑤ C . ①②③④⑤ D . 只有①②③

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32. (2023八下·定远期中) 对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，下列说法：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
②若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实根，则方程 $\text{[math]}$ 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则一定有 $\text{[math]}$ 成立；
④若 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根，则 $\text{[math]}$ 其中正确的（）

A . 只有①②④ B . 只有①②③ C . ①②③④ D . 只有①②

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33. (2023八下·上虞期末) 已知 $\text{[math]}$ 是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ ；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）

A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ③④

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34. (2023八下·拱墅期中) 对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，下列说法：
$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则方程必有一根为 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实根，则方程 $\text{[math]}$ 无实根；
$\text{[math]}$ 若方程 $\text{[math]}$ 两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ ，必有实根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根，则 $\text{[math]}$ ．
其中正确的（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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