甘肃省部分重点中学2023-2024学年高三上学期元月高考模...

更新时间：2024-03-07 浏览次数：31 类型：高考模拟

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -6 B . -2 C . 2 D . 6

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4. 众数､平均数､中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数､众数和中位数的大小关系是（）（由小到大排列）

A . 众数 $\text{[math]}$ 中位数 $\text{[math]}$ 平均数 B . 平均数 $\text{[math]}$ 众数 $\text{[math]}$ 中位数 C . 中位数 $\text{[math]}$ 平均数 $\text{[math]}$ 众数 D . 众数 $\text{[math]}$ 平均数 $\text{[math]}$ 中位数

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 有3个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知平行四边形 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 有极大值，无极小值 B . 有极小值，无极大值 C . 既有极大值又有极小值 D . 既无极大值也无极小值

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知函数 $\text{[math]}$ 在一个周期内的图象如图所示，图象与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为2 C . 直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的一个对称轴 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为1 C . $\text{[math]}$ 的最小值为8 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. 已知直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的准线与 $\text{[math]}$ 轴的交点，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 过 $\text{[math]}$ 的焦点的最短弦长为4 C . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ D . 存在2条直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立

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12. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 内接于球 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为侧面 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 过点 $\text{[math]}$ 作球的截面，截面的面积最小为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹长为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 $\text{[math]}$ 是奇函数，则 $\text{[math]}$ .

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14. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为 $\text{[math]}$ ，则该模型中圆柱的表面积为.

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15. 如图，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点，同时也是双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右顶点，过点 $\text{[math]}$ 的直线交双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右两支分别于 $\text{[math]}$ 两点，交双曲线 $\text{[math]}$ 的右支于点 $\text{[math]}$ （与点 $\text{[math]}$ 不重合），且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长之差为6，则双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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16. 某学校有 $\text{[math]}$ 两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有 $\text{[math]}$ 的可能性换另一个餐厅就餐，假如第1天甲选择了 $\text{[math]}$ 餐厅，则第 $\text{[math]}$ 天选择 $\text{[math]}$ 餐厅的概率 $\text{[math]}$ 为.

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小，
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的角平分线交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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19. 第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的 $\text{[math]}$ ，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.
1. （1）完成下面 $\text{[math]}$ 列联表，试根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
  男
  女
  合计
  喜爱看足球比赛
  
  不喜爱看足球比赛
  
  合计
  60
2. （2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望.
  附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  0.1
  0.05
  0.01
  0.005
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  7.879
  10.828
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为2的等差数列.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，短轴长为2.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 且斜率不为 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一定点，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为定值，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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