一、<strong><span>单选题</span></strong><strong><span>:每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的</span></strong>
-
1.
已知
为虚数单位,则
( )
A .
B .
C . -1
D . 1
-
2.
定义全集
, 则
( )
-
3.
设命题
:数列
是等比数列,命题
:数列
和
均为等比数列,则
是
的( )
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
-
4.
已知任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式,且如果不计分解式中素因数的次序,这种分解式是唯一的.如
, 则2000的不同正因数个数为( )
A . 25
B . 20
C . 15
D . 12
-
5.
某校高一年级有1200人,现有两种课外实践活动供学生选择,要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知,选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%,选择另一项活动的人数占50%到55%,则下列说法正确的是( )
A . 同时选择两项参加的人数可能有100人
B . 同时选择两项参加的人数可能有180人
C . 同时选择两项参加的人数可能有260人
D . 同时选择两项参加的人数可能有320人
-
6.
圆锥
中,
为圆锥顶点,
为底面圆的圆心,底面圆
半径为3,侧面展开图面积为
, 底面圆周上有两动点
, 则
面积的最大值为( )
A . 4
B .
C .
D . 6
-
7.
抛物线
的方程为
, 过点
的直线交
于
两点,记直线
的斜率分别为
, 则
的值为( )
A . -2
B . -1
C .
D .
-
二、<strong><span>多选题</span></strong><strong><span>:每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选得0分.</span></strong>
-
9.
新能源汽车相比较传统汽车具有节能环保、乘坐舒适、操控性好、使用成本低等优势,近几年在我国得到越来越多消费者的青睐.某品牌新能源汽车2023年上半年的销量如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销量(万辆) | 11.7 | 12.4 | 13.8 | 13.2 | 14.6 | 15.3 |
针对上表数据,下列说法正确的有( )
A . 销量的极差为3.6
B . 销量的分位数是13.2
C . 销量的平均数与中位数相等
D . 若销量关于月份的回归方程为 , 则
-
-
11.
设
, 点
是直线
上的任意一点,过点
作函数
图象的切线,可能作( )
A . 0条
B . 1条
C . 2条
D . 3条
-
三、/span><strong><span>、填空题</span></strong><strong><span>:每小题5分,共20分.</span></strong>
-
13.
已知函数
是偶函数,则
.
-
14.
若角
的顶点在原点,始边与
轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点
, 则
.
-
15.
已知方程
有唯一实根,则实数
的取值范围是
.
-
16.
设椭圆
的左右顶点分别为
为椭圆上异于
的任意一点.过右焦点作
轴的垂线与椭圆在第一象限交于点
, 连接
并延长交直线
于点
, 若
, 且
, 则椭圆离心率的取值范围是
.
四、<strong><span>解答题</span></strong><strong><span>:共70分.解答题需要在答题卡上写出必要的说明或推理过程.</span></strong>
-
-
(1)
求
的面积;
-
(2)
求线段
的长.
-
18.
如图,在多面体
中,底面
为菱形,
平面
,
, 且
为棱
的中点,
为棱
上的动点.
-
(1)
求二面角
的正弦值;
-
(2)
是否存在点
使得
平面
?若存在,求
的值;否则,请说明理由.
-
19.
第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会,也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制,先赢3局的一方获胜,比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为
.假设各局比赛结果相互独立.
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-
(2)
设比赛进行的总局数为
, 求
的分布列和数学期望;
-
(3)
如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择,从概率角度考虑,乙如何选择对自己有利?请直接写出选择方案.
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-
(1)
证明:数列
是等差数列;
-
-
21.
已知
.
-
(1)
证明:
;
-
(2)
若
恒成立,求实数
的取值范围.
-
22.
已知双曲线
与双曲线
有相同的浙近线,且双曲线
的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
-
-
(2)
已知动直线
与曲线
有且仅有一个交点
, 过点
且与
垂直的直线
与两坐标轴分别交于
.设点
.
(i)求点的轨迹方程;
(ii)若对于一般情形,曲线方程为 , 动直线方程为 , 请直接写出点的轨迹方程.