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上海市浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期数学1...

更新时间：2024-04-25 浏览次数：9 类型：月考试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 过点 $\text{[math]}$ 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为.

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3. 已知 $\text{[math]}$ 在角 $\text{[math]}$ 的终边上，则 $\text{[math]}$ .

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4. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （i是虚数单位），若 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ .

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5. 等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）恒过定点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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7. 已知双曲线的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，且右顶点与椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是.

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8. 已知正实数x、y满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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9. 已知抛物线的方程为 $\text{[math]}$ ，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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10. 函数y=sin2x+2sinx的最大值为．

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11. 已知等边 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是其外接圆上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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12. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为 $\text{[math]}$ .如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）

13. 若 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）条件

A . 充分非必要 B . 必要非充分 C . 充要 D . 既非充分也非必要

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14. 设 $\text{[math]}$ 是复数，则下列命题中的假命题是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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15. 在正方体 $\text{[math]}$ 中，给出下列四个推断：
① $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$
③平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
④平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

其中正确的推断有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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16. 已知 $\text{[math]}$ 均为正数，并且 $\text{[math]}$ ，给出下列2个结论：
① $\text{[math]}$ 中小于1的数最多只有一个；
② $\text{[math]}$ 中最小的数不小于 $\text{[math]}$ .则（）

A . ①对，②错 B . ①错，②对 C . ①，②都错 D . ①，②都对

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三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17. 如图，在几何体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若PC与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求点A到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的外接圆的半径为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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19. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为 $\text{[math]}$ ，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离分别为5千米和40千米，点N到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离分别为20千米和2.5千米，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ，假设曲线C符合函数 $\text{[math]}$ （其中a、b为常数）模型.
1. （1）求a、b的值；
2. （2）设公路 $\text{[math]}$ 与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
  ①请写出公路 $\text{[math]}$ 长度的函数解析式 $\text{[math]}$ ，并写出其定义域；
  ②当t为何值时，公路 $\text{[math]}$ 的长度最短?求出最短长度.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，上顶点为M ，过点M且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一点N ，过原点的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于P、Q两点.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 周长；
2. （2）是否存在这样的直线 $\text{[math]}$ ，使椭圆 $\text{[math]}$ 中与直线 $\text{[math]}$ 平行的弦的中点都在 $\text{[math]}$ 上?若存在，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，请说明理由；
3. （3）若直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 相交，且四边形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. 设 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的函数，如果对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均成立，则称 $\text{[math]}$ 是“平缓函数”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为“平缓函数”并说明理由；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 存在，判断下列命题的真假：若 $\text{[math]}$ 是“平缓函数”，则 $\text{[math]}$ ，并说明理由.
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ 是“平缓函数”，且 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为周期的周期函数，证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ .
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