广东省东莞市七校2023-2024学年高二上学期期中联考数学...

更新时间：2024-01-09 浏览次数：20 类型：期中考试

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. (2023高二上·佛山期末) 如图，直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二上·佛山期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . -2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·佛山期末) 已知圆的一条直径的端点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则此圆的标准方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，那么该两平行线之间距离是（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，四边形ABCD为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点P为正方形 $\text{[math]}$ 内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为 $\text{[math]}$ 的点P的轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，则下列关于双曲线 $\text{[math]}$ 的结论正确的是（）

A . 实轴长为6 B . 焦距为5 C . 离心率为 $\text{[math]}$ D . 焦点到渐近线的距离为4

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10. 已知空间中三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共线向量 B . 与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值是 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量是 $\text{[math]}$

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11. 设圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，若圆O上存在两点到A的距离为2，则 $\text{[math]}$ 的可能取值（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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12. 在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线为焦点在 $\text{[math]}$ 轴上双曲线，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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14. (2023高二上·深圳期中) 已知 $\text{[math]}$ 分别是平面 $\text{[math]}$ 的法向量，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 设半径为3的圆 $\text{[math]}$ 被直线 $\text{[math]}$ 截得的弦 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，且弦长 $\text{[math]}$ ，则圆 $\text{[math]}$ 的标准方程.

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16. 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.

17. 在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）求过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线.
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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19. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在该双曲线上.
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，且双曲线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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20. 党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国 $\text{[math]}$ 万平方千米的大地之下拥有超过 $\text{[math]}$ 座，总长接近赤道长度的隧道（约 $\text{[math]}$ 千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，洞门最高处距路面 $\text{[math]}$ 米.
1. （1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧 $\text{[math]}$ 的方程.
2. （2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了 $\text{[math]}$ 米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽 $\text{[math]}$ 米，高 $\text{[math]}$ 米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由.
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21. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作不与坐标轴垂直的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与 $\text{[math]}$ 轴负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 的纵坐标的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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