吉林省长春市农安县2023-2024学年高二上学期数学期中试...

更新时间：2024-01-30 浏览次数：13 类型：期中考试

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

1. 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量为 $\text{[math]}$ ，则它的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在下列条件中，一定能使空间中的四点 $\text{[math]}$ 共面的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高二上·白城期中) 若椭圆 $\text{[math]}$ 上一点A到焦点F₁的距离为2，B为AF₁的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. (2021高二上·白城期中) 已知空间四边形 $\text{[math]}$ 的每条边和对角线的长都等于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\text{[math]}$ 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选择项中，有多项符和题目要求。全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. (2022高二上·柳州期中) 以下命题正确的是（）

A . 直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，直线m的方向向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 直线l的方向向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 两个不同平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 经过三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量，则 $\text{[math]}$

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10. (2021高二上·沈阳月考) 已知方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线为 $\text{[math]}$ 则以下四个判断正确的为（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 表示椭圆 B . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 表示双曲线 C . 若曲线 $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆，则 $\text{[math]}$ D . 若曲线 $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的双曲线，则 $\text{[math]}$

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11. (2021高二上·白城期中) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为6，焦距为10，右焦点为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 双曲线渐近线上的点到 $\text{[math]}$ 距离的最小值为4 B . 离心率为 $\text{[math]}$ C . 双曲线上的点到 $\text{[math]}$ 距离的最小值为2 D . 过 $\text{[math]}$ 的最短的弦长为 $\text{[math]}$

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12. 设圆： $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ 为圆外一点，过 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 四点共圆 C . $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 的方程为： $\text{[math]}$

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三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13. 两圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公切线有条．

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14. 双曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线上，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为．

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15. 椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ 为椭圆上任意一点，则直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积等于．

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16. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为．

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四、解答题：共6小题，共70分。

17. 已知空间四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，用向量方法证明 $\text{[math]}$ ．

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18. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
1. （1）斜率是 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ ；
2. （2）经过点 $\text{[math]}$ ，平行于 $\text{[math]}$ 轴；
3. （3）在 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴上的截距分别是 $\text{[math]}$ ；
4. （4）经过两点 $\text{[math]}$ ．
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19. (2021高二上·白城期中) 已知圆C过平面内三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求圆C的标准方程；
2. （2）若点B也在圆C上，且弦 $\text{[math]}$ 长为8，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
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20. 已知 $\text{[math]}$ 的两个顶点 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点和右焦点，且三个内角 $\text{[math]}$ 满足关系式 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）求顶点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程．
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21. (2021·新乡模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值.
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且长轴长等于4．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点，圆 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的圆，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，并与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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