北京市顺义区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

更新时间：2024-01-08 浏览次数：14 类型：期中考试

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）

1. 若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 椭圆的两个焦点是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若 $\text{[math]}$ 表示圆的方程，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若双曲线C： $\text{[math]}$ 的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 3 C . 6 D . 8

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6. 已知平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，若平面 $\text{[math]}$ 外的直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，则可以推断（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 斜交 D . $\text{[math]}$

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7. 已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 用基底 $\text{[math]}$ 可表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 设点 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 图象上的动点， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）上的动点，若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则以所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 为顶点的多边形的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，下列结论中错误的是（）

A . 对于任意的点 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角是60° D . 不存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的所成角是30°

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）

11. 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为.

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12. 平面直角坐标系中，已知直线 $\text{[math]}$ 过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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13. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为F ，准线为 $\text{[math]}$ ，则F到 $\text{[math]}$ 的距离是；若斜率为 $\text{[math]}$ 的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M ，过M作 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 于点N ，则 $\text{[math]}$ 的面积为.

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14. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 有共同的焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设两曲线的其中一个交点为P ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为.

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15. 关于曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$
①曲线 $\text{[math]}$ 关于x轴、y轴和原点对称；
②当 $\text{[math]}$ 时，两曲线共有四个交点；
③当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 围成的区域面积大于曲线 $\text{[math]}$ 所围成的区域面积；
④当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3.
上述结论中所有正确命题的序号是.

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三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.

16. 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，求m的值；
3. （3）若直线 $\text{[math]}$ 被圆截得的弦长 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值
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17. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 $\text{[math]}$ 轴，且经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
2. （2）经过焦点F且斜率是1的直线 $\text{[math]}$ ，与抛物线交于A、B两点，求 $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
3. （3）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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19. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点N是 $\text{[math]}$ 上靠近C的三等分点
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
3. （3）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内?若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的长轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过右焦点且与 $\text{[math]}$ 轴不垂直的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆相交于A ， B两点，点M的坐标为 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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21. 对于空间向量 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示x ， y ， z这三个数的最大值.
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
  ②当 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的最小值及此时 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点Q是 $\text{[math]}$ 内部的动点，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值（无需解答过程）.
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