上海市实验学校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

更新时间：2024-01-30 浏览次数：17 类型：期中考试

一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）

1. 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用集合符号表示）.

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2. 已知圆锥底面半径为2，母线长为3，则圆锥的表面积为.

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3. 设 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ 是直线且 $\text{[math]}$ .“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”）

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4. 设 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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5. 如图的四面体 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为.

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6. 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为.

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7. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

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8. 在棱长为6的正方体 $\text{[math]}$ 中，E是棱AB的中点，过 $\text{[math]}$ 作正方体的截面，则该截面的面积是．

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9. (2020·定远模拟) 已知两平行平面 $\text{[math]}$ 间的距离为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为60°，则四面体 $\text{[math]}$ 的体积为．

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10. 如图，在棱长为2的正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .若记 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于.（注： $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的测度，在本题， $\text{[math]}$ 为曲线、平面图形、空间几何体时， $\text{[math]}$ 分别对应长度、面积、体积.）

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二、选择题（共16分，每小题4分）

11. 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交，直线 $\text{[math]}$ 也与直线 $\text{[math]}$ 相交，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的位置关系是（）

A . 相交 B . 平行 C . 异面 D . 以上都有可能

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12. (2022·福建模拟) 已知互不重合的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，互不重合的平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出下列四个命题，错误的命题是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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13. (2020·大连模拟) 下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 的图形的序号是（）

A . ①③ B . ②③ C . ①④ D . ②④

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14. 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD ， E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE(A₁∉平面ABCD)，若M ， O分别为线段A₁C ， DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）

A . 与平面A₁DE垂直的直线必与直线MB垂直 B . 异面直线BM与A₁E所成角是定值 C . 一定存在某个位置，使DE⊥MO D . 三棱锥A₁ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值

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三、解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤）

15. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中，M ， N分别是 $\text{[math]}$ 上点，且 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）试用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求MN的长．
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16. (2019高二上·湖北期中) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.
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17. (2019高二上·成都期中) 如图，多面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求多面体 $\text{[math]}$ 的体积 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （3）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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四、附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤）

19. 如图，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 平行四边形，四棱锥的顶点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为轴将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别向上翻转 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点重合为点 $\text{[math]}$ 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 $\text{[math]}$ 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\text{[math]}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
2. （2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 $\text{[math]}$
  ①用 $\text{[math]}$ 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 $\text{[math]}$ ；
  ②当蜂房表面积最小时，求其顶点 $\text{[math]}$ 的曲率的余弦值.
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