浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期数学期末试题

更新时间：2023-10-07 浏览次数：42 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．

1. (2021高二上·肥城期中) 直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\text{[math]}$ ．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为 $\text{[math]}$ ，则第四个单音的频率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. “点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 外”是“直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）

A . 6种 B . 12种 C . 18种 D . 24种

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6. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 小组根据表中数据，直接对 $\text{[math]}$ 作线性回归分析，得到：回归方程 $\text{[math]}$ ，决定系数 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 小组先将数据按照变换 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 进行整理，再对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作线性回归分析，得到：回归方程 $\text{[math]}$ ，决定系数 $\text{[math]}$ ．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半径为1的球 $\text{[math]}$ 的球面上的四个点．设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 不可能等于（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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8. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上不与顶点重合的一点，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心．直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若函数 $\text{[math]}$ 导函数的部分图像如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个极大值点 B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个极小值点 C . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个极大值点 D . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个极小值点

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10. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ），抛掷两次．设事件 $\text{[math]}$ “两次向上的点数之和大于 $\text{[math]}$ ”，事件 $\text{[math]}$ “两次向上的点数之积大于 $\text{[math]}$ ”，事件 $\text{[math]}$ “两次向上的点数之和小于 $\text{[math]}$ ”，则（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 互斥 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 相互独立

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11. 设双曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 离心率的最小值为4 B . 离心率最小时双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 若直线 $\text{[math]}$ 同时与两条渐近线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 处的切线与两条渐近线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为定值

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12. 已知曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，及直线 $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的是（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线与曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线平行 B . 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 仅有一个公共点，则 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点 D . 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率为．

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15. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 的正整数 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 设函数 $\text{[math]}$ ，则使得 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共面．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点， $\text{[math]}$ 是空间任意一点，用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
2. （2）若 $\text{[math]}$ 中的部分项 $\text{[math]}$ 组成的数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，2为公比的等比数列，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. (2023高二下·杭州) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正弦值．
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20. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列 $\text{[math]}$ 列联表，并根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）

单位：人

出行方式	国际大都市	中小型城市	合计
偏好地铁		20	100
偏好其他	60
合计		60

（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成 $\text{[math]}$ 段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第 $\text{[math]}$ 段行程上David坐地铁的概率为 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
①试证明 $\text{[math]}$ 为等比数列；

②设第 $\text{[math]}$ 次David选择共享单车的概率为 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．

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21. (2023高二下·杭州) 设抛物线 $\text{[math]}$ ，过焦点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 当直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程．
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$
  
  ②求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积之和的最小值．
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22. 设函数 $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）证明：函数 $\text{[math]}$ 有两个零点．
3. （3）记 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的导数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的两个零点，证明： $\text{[math]}$ ．
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