浙江省湖州市2022-2023学年高一下册期末考试数学试卷

更新时间：2023-07-14 浏览次数：57 类型：期末考试

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知i为虚数单位，复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在空间中，l，m是不重合的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 $\text{[math]}$ ，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. “忽登最高塔，眼界穷大千.卞峰照城郭，震泽浮云天.”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔.某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角 $\text{[math]}$ ，则飞英塔的高度约是（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 45米 B . 50米 C . 55米 D . 60米

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8. 三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 某中学为了解大数据提供的个性化作业的质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（）

A . 频率分布直方图中a的值为0.006 B . 估计该中学学生对个性化作业的评分不低于80的概率为0.04 C . 从评分在 $\text{[math]}$ 的受访学生中，随机抽取2人，此2人评分都在 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ D . 受访学生对个性化作业评分的第40百分位数为72.6

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10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次掷出的点数是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数之和是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）

A . 事件A与C互斥 B . $\text{[math]}$ C . 事件B与D对立 D . 事件B与C相互独立

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11. 设函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 是偶函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 是奇函数 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象可由函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得到 D . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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12. 已知正四棱台 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在球O的球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M为△BDG内部（含边界）的动点，则（）

A . 直线AE与平面BDG相交 B . 球O的体积为 $\text{[math]}$ C . 直线AM与平面BDG所成角的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位正交基底，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是.

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15. 在锐角三角形ABC中，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值是.

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16. 对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求正实数t的取值范围是.（其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2022年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期间的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

调查评分	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
心理等级	有隐患		一般		良好	优秀

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 $\text{[math]}$ 的市民为400人.

（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在 $\text{[math]}$ 的市民心理等级转为“良好”的概率为 $\text{[math]}$ ，调查评分在 $\text{[math]}$ 的市民心理等级转为“良好”的概率为 $\text{[math]}$ ，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.
注：每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数＝问卷调查评分/100.

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18. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D，E分别是棱BC， $\text{[math]}$ 上的点（点D不同于点C），且 $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 的中点.

求证：
1. （1）平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 平面ADE.
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19. 在 $\text{[math]}$ 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角B的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积S的取值范围.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，且对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求m的最小值.（其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）
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21. 已知面积为 $\text{[math]}$ 的菱形ABCD如图①所示，其中 $\text{[math]}$ ， E是线段AD的中点.现将 $\text{[math]}$ 沿AC折起，使得点D到达点S的位置.
1. （1）若二面角 $\text{[math]}$ 的平面角大小为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的平面角 $\text{[math]}$ ，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持 $\text{[math]}$ ，求点F的轨迹长度的取值范围.
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22. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D，E，F分别在线段AC，AB，BC上，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .
1. （1）用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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