江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（理）试...

更新时间：2023-03-29 浏览次数：52 类型：期末考试

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某城市有一个面积为 $\text{[math]}$ 的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为 $\text{[math]}$ ），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（）

A . 步行道的宽度 $\text{[math]}$ B . 步行道的宽度 $\text{[math]}$ C . 步行道的宽度 $\text{[math]}$ D . 草坪不可能为黄金矩形

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5. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形.则这个几何体的外接球的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，10月17日各代表团分组讨论党的二十大报告．某媒体5名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，若记者 $\text{[math]}$ 不去甲组，则不同的安排方法共有（）

A . 15种 B . 30种 C . 60种 D . 90种

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9. 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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10. 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 10 B . 8 C . 4 D . 2

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为R都为连续函数，记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为奇函数，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 图象上的不同两点. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 图象上的不同两点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 5 C . 10 D . 20

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12. 椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 的短轴为直径的圆记为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 某校第一次模拟考试的数学成绩 $\text{[math]}$ 近似地服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 记函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ .

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15. 过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 准线上的点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 处的两条切线互相垂直，且分別交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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19. 为了调查抖音平台某直播间带货服务的满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分布和“满意”的人数如下表：
年龄/岁
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
频数
15
25
30
20
10
满意
13
20
27
16
4
1. （1）根据上述统计数据填下面的 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异；
  
  年龄低于50岁的人数
  年龄不低于50岁的人数
  合计
  满意
  不满意
  合计
2. （2）若以频率估计概率，以100人的样本数据来估计全国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）的总体数据，若从在全国范围内任选5人，记 $\text{[math]}$ 表示抽到“满意”的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望.
  附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  0.10
  0.05
  0.01
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  10.828
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20. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线相同，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的右焦点．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的任意一点，是否存在这样的直线 $\text{[math]}$ ，使得过点 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，且以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过点 $\text{[math]}$ ？若存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的方程，若不存在，说明理由．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个不同零点，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点 $\text{[math]}$ 为原点，极轴为 $\text{[math]}$ 轴的正半轴建立直角坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 的极坐标为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为心形线上的点，直线 $\text{[math]}$ 与心形线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（异于 $\text{[math]}$ 点），求 $\text{[math]}$ 的面积.
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23. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正数，且 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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