江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三下学期数学1...

更新时间：2023-02-15 浏览次数：47 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合A的子集个数为（）

A . 3 B . 4 C . 8 D . 16

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2. $\text{[math]}$ 展开式中x²的系数为（）

A . 15 B . 20 C . 30 D . 40

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量的模为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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4. 3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知某球的表面上有四个点A、B、C、D，满足BA，BC，BD两两垂直且 $\text{[math]}$ ，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由该球的内部挖去由 $\text{[math]}$ 组成的四面体后剩余的部分，打印所用原料密度为 $\text{[math]}$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（参考数据：取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，计算结果精确到0.1）

A . 17.7g B . 18.4g C . 19.1g D . 20.4g

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5. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左焦点为F，右顶点为 $\text{[math]}$ ，上、下顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点E和坐标原点O的连线OE与 $\text{[math]}$ 垂直，则椭圆C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 设公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 128 B . 64 C . 32 D . 16

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 为定义在R上的偶函数，当 $\text{[math]}$ 时有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的传染病预防知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份传染病预防知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）

A . 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B . 讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C . 讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是90% D . 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差

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10. 寒假期间，甲，乙，丙，丁，戊共5位同学被安排到A，B，C，D四个小区参加社会实践活动，要求每个小区至少安排一位同学，且每位同学只能到一个小区参加实践活动，则下列结论正确的是（）

A . 不同的安排方法共有240种 B . 甲同学被安排到A小区的概率是 $\text{[math]}$ C . 甲乙两位同学被安排在同一小区的概率为 $\text{[math]}$ D . 在甲同学被安排到A小区的前提下，A小区有两位同学的概率是 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的对称中心 B . 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 C . 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有三个零点 D . 过原点可作曲线 $\text{[math]}$ 的切线有且仅有两条

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，点P是直线 $\text{[math]}$ 上动点，过点P作 $\text{[math]}$ 的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（）

A . $\text{[math]}$ 关于直线l的对称圆方程 $\text{[math]}$ B . 若Q是 $\text{[math]}$ 上动点，则线段PQ的最大值为 $\text{[math]}$ C . 线段AB的最小值是 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则点P的轨迹长度为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 记复数z的共轭复数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知O为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线C： $\text{[math]}$ 交于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 设函数 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后，所得的图像与原图像重合， $\text{[math]}$ 取最小值时，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有解，则实数t的取值范围为.

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16. 最早的数列从何而来，也许结绳记事便是人类最早跟数列打交道的朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列 $\text{[math]}$ 满足：第一项是 $\text{[math]}$ ，接下来的两项是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再接下来的三项是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依此类推，记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.则 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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19. 如图在斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， E是棱 $\text{[math]}$ 上一点，D，F分别是AC，AB的中点.
1. （1）当 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ，求锐二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. 2023年的春节期间，某市举办了趣味射击过关比赛.比赛时，有甲、乙两个靶，比赛规则如下：射手先向甲靶射击两次，再向乙靶射击一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，没有命中均得0分.现已知A射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\text{[math]}$ ，再向乙靶射击一次，命中的概率为 $\text{[math]}$ ，假设A射手每次射击的结果相互独立.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数的概率；
2. （2）现规定射手总得分的数学期望超过4，比赛过关，若A射手过关，求实数p的取值范围.
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21. 已知双曲线E： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，O为坐标原点，A，B为双曲线E的左右顶点，P为E上异于A，B的任一点，且满足：直线PA与直线PB的斜率之积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线E的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l交双曲线E于M，N两点，直线MD，ND分别交双曲线E于P，Q两点，设直线PQ的斜率为k₂ ，问是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得： $\text{[math]}$ ？若存在求出 $\text{[math]}$ 值；若不存在，说明理由.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围；
2. （2）判断方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上实根个数，并说明理由.
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