江西省赣州市2023届高三上学期理数1月期末考试试卷

更新时间：2023-02-28 浏览次数：45 类型：月考试卷

一、单选题

1. 集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . -1 B . 0 C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. 若数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 62 D . 64

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4. 为了研究某班学生的右手一拃长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取了12名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若某学生的右手一拃长为22厘米，据此估计其身高为（）

A . 175 B . 179 C . 183 D . 187

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5. 若复数 $\text{[math]}$ （a， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为其共轭复数），定义： $\text{[math]}$ .则对任意的复数 $\text{[math]}$ ，有下列命题： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为纯虚数.其中正确的命题个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 程大位（1533~1606），明朝人，珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道题：荡秋千，平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多长？（）

A . 14尺 B . 14.5尺 C . 15尺 D . 15.5尺

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7. 已知过抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点F的直线l被C截得的弦长为8，则坐标原点O到l的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 若 $\text{[math]}$ 展开式的各项系数和为729， $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 30 D . 90

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9. 直线 $\text{[math]}$ 与双曲线E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）交于M，N两点，若 $\text{[math]}$ 为直角三角形（其中O为坐标原点），则双曲线E的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值为a，则实数a的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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11. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为单位向量且夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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15. 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是同一平面内的三条平行直线， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的距离是1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的距离是2，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 的三顶点分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的斜边长可以是（写出一个即可）.

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16. 斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为斐波那契数列.已知数列 $\text{[math]}$ 为斐波那契数列，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 的前12项和为86，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求B的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 边上的高之比为3∶5，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是凸四边形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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19. 设有标号为1，2，3，…，n的n个小球（除标号不同外，其余均一样）和标号为1，2，3，…，n的n个盒子，将这n个小球任意地放入这n个盒子，每个盒子放一个小球，若i（ $\text{[math]}$ ， 2，3，…，n）号球放入了i号盒子，则称该球放对了，否则称放错了.用 $\text{[math]}$ 表示放对了的球的个数.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的概率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望.
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）过点 $\text{[math]}$ 且离心率为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作两条斜率之和为0的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交C于A，B两点， $\text{[math]}$ 交C于M，N两点.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ （其中e为自然对数的底数），且曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求实数m，n的值；
2. （2）证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ .
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ ，直线l与曲线C的交点为A，B，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为正数，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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