河北省保定市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-12-10 浏览次数：104 类型：期末考试

一、单选题

1. 若直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 37 B . 38 C . 39 D . 40

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3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，若抛物线上一点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为2，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之比为定值 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹的圆心坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的一条渐近线与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则弦 $\text{[math]}$ 最短时所在的直线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，斜率 $\text{[math]}$ ，且交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的下方）两点，抛物线的准线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，小明计算得出以下三个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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8. 正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为3， $\text{[math]}$ 为空间一点， $\text{[math]}$ 为底面 $\text{[math]}$ 内一点，且满足 $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为30°，则线段 $\text{[math]}$ 长度最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、<i >多选题</i>

9. 已知两条直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方程分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则两条平行直线之间的距离为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 一定相交

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点是双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 双曲线的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 椭圆的左顶点是双曲线的左焦点 D . 若椭圆的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之积为定值

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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12. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的各顶点都在球 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的四个面均为直角三角形 B . 球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值是 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 被球 $\text{[math]}$ 所截的截面面积是 $\text{[math]}$

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三、<i >填空题</i>

13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆 $\text{[math]}$ 的对称轴为坐标轴，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，且椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为．

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15. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为右支上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的内切圆的半径为2，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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四、解答题

17. 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且在两坐标轴上的截距相等，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 已知圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且圆周被直线 $\text{[math]}$ 平分．
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并求出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，试求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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21. 如图1，一副标准的三角板中， $\text{[math]}$ 为直角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直角， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，拼成一个三棱锥，如图2．设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在图2中，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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22. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右焦点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 轴．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列，试求满足条件的直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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