北京市朝阳区2023届高三上学期数学期中质量检测试卷

更新时间：2022-11-14 浏览次数：39 类型：期中考试

一、单选题

1. 设复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 5

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列函数中，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 已知球 $\text{[math]}$ 的半径为2，球心到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 被平面 $\text{[math]}$ 截得的截面面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的顶点与坐标原点 $\text{[math]}$ 重合，始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，其终边过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -7 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 7

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7. 已知 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的函数， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为奇函数，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . 2

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8. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数 $\text{[math]}$ 来表示.下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 为奇函数 B . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 有最小值 C . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 为增函数 D . 若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 存在零点

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二、填空题

11. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是.

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12. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的无穷数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；
④存在常数 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，
其中所有正确结论的序号是.

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14. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 为偶函数，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的值域是；若函数 $\text{[math]}$ 有且仅有2个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期及值域；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间.
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17. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若侧面 $\text{[math]}$ 是正方形，
  （ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；
  （ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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18. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $\text{[math]}$ 存在且唯一，并求：
（条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ ）
1. （1） $\text{[math]}$ 的值；
2. （2） $\text{[math]}$ 的面积.
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19. 已知公差大于0的等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 中元素的个数为 $\text{[math]}$ ，且存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 子集.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的所有 $\text{[math]}$ 子集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 子集，且对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的任意一个元素个数为 $\text{[math]}$ 的子集都是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 子集，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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