江苏省常州市溧阳市2021-2022学年高一下学期数学期末考...

更新时间：2022-07-12 浏览次数：58 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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2. 采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°

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4. 阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为 $\text{[math]}$ ，则圆柱的表面积为（）

A . 36π B . 45π C . 54π D . 63π

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5. 甲､乙､丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为 $\text{[math]}$ ，则密码被破译的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 下列命题中正确的是（）

A . 过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行 B . 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C . 过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面垂直 D . 过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面

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7. 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 9° B . 18° C . 27° D . 36°

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二、多选题

9. 某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数的（）

A . 众数为2和3 B . 平均数为3 C . 标准差为 $\text{[math]}$ D . 第85百分位数为4.5

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10. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件 $\text{[math]}$ ， “从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件 $\text{[math]}$ ， “从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件 $\text{[math]}$ .下列说法正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 互斥 B . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 对立 C . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 相互独立 D . $\text{[math]}$

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11. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则以下叙述中正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 不可能与平面 $\text{[math]}$ 垂直 C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为定值 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值

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三、填空题

13. 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是人.

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14. 某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 $\text{[math]}$ 滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为.

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15. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均位于单位圆（圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为1）上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）在复平面内，设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对应的点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2020·新沂模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

求证：
1. （1） $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
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19. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､……､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ .
1. （1）求频率分布直方图中 $\text{[math]}$ 的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；
2. （2）从评分在 $\text{[math]}$ 的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $\text{[math]}$ 的概率；
3. （3）估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
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20. 已知向量 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值域.
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21. 刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶 $\text{[math]}$ ”现有一个刍甍如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 为长方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是全等的等边三角形.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若已知 $\text{[math]}$ ，
  ①求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
  ②求该五面体 $\text{[math]}$ 的体积.
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22. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ .
  ①求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
  ②求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时 $\text{[math]}$ 的长.
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