2022-2023学年初数北师大版九年级上册1.3正方形的性...

更新时间：2022-07-05 浏览次数：62 类型：同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1. (2019九上·深圳期中) 正方形的一条对角线之长为4,则此正方形的面积是（）

A . 16 B . 4 $\text{[math]}$ C . 8 D . 8 $\text{[math]}$

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2. (2021九上·长沙月考) 下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）

A . 对角线相等的平行四边形 B . 对角线互相平分且垂直的四边形 C . 对角线互相垂直且相等的四边形 D . 对角线相等且互相垂直的平行四边形

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3. (2020九上·石家庄月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 $\text{[math]}$ 的周长记为c，若 $\text{[math]}$ (a为正整数)，则a的值为（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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4. (2021九上·茂南期末) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（）

A . ①②③④ B . ①②③ C . ②③④ D . ①③④

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5. (2021九上·城阳期中) 如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC ， ②∠ABC＝90°，③AC＝BD ， ④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　）

A . ①② B . ①③ C . ③④ D . ①④

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6. (2019九上·北碚月考) 下列命题正确的是（）

A . 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 B . 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C . 对角线相等的菱形是正方形 D . 对角线互相平分的矩形是正方形

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7. (2020九上·顺德期末) 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A . 对角线互相垂直 B . 对角线相等 C . 对角互补 D . 四个角相等

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8. (2021九上·普宁期中) 如图， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F ，连接BE、CF ，则下列结论错误的是（）．

A . 四边形BECF为平行四边形 B . 当 $\text{[math]}$ 时，四边形BECF为矩形 C . 当 $\text{[math]}$ 时，四边形BECF为菱形 D . 四边形BECF不可能为正方形

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9. (2021九上·思明期中) 如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（　　）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

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10. (2022·绍兴) 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 $\text{[math]}$ ；
②存在无数个矩形 $\text{[math]}$ ；
③存在无数个菱形 $\text{[math]}$ ；
④存在无数个正方形 $\text{[math]}$ ．其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. (2020九上·胶州月考) 已知在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：．

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12. (2021九上·惠来月考) 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．

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13. (2021九上·和平期末) 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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14. (2021九上·五常期末) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 都是边长为4的正方形，点O是正方形 $\text{[math]}$ 对角线的交点，正方形 $\text{[math]}$ 绕点O旋转过程中分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，F，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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15. (2021九上·西安月考) 如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加，才能保证四边形EFGH是正方形.

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16. (2022·武汉) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 的三边为边向外作三个正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积是.

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三、解答题

17. (2020九上·平房期末) 如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
1. （1）在图中画一个以 $\text{[math]}$ 为一边的菱形 $\text{[math]}$ ，且菱形 $\text{[math]}$ 的面积等于20．
2. （2）在图中画一个以 $\text{[math]}$ 为对角线的正方形 $\text{[math]}$ ，并直接写出正方形 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. (2020九上·子洲期中) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点F， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形.

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19. (2019九上·龙泉驿期中) 如图，已知在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是四个内角的平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

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20. (2021九上·凤县月考) 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC.

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21. (2022·邵阳) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形.

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22. (2021九上·紫金期中) 如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．
1. （1）求证：四边形ABCD是菱形；
2. （2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
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23. (2020九上·即墨期末) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
1. （1）求证：CE＝AD；
2. （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
3. （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
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24. (2021·息县模拟) 问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF；
1. （1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是，位置关系是；
2. （2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明：
3. （3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 °＜α＜90 °），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC.
  ①当AM＝2时，直接写出S_△BMN＋S_△CEN的值；
  ②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形）
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