浙江省杭州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-07-05 浏览次数：156 类型：期末考试

一、单选题

1. (2020高二下·北京期中) 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2022·朝阳模拟) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ 在同一坐标系下的图像可能是（）

A . B . C . D .

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5. 为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）随时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的变化如图所示，在药物释放过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成正比；药物释放完毕后， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式为 $\text{[math]}$ 为常数），则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到 $\text{[math]}$ 以下 D . $\text{[math]}$ 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到 $\text{[math]}$ 以下

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6. 已知 $\text{[math]}$ 是单位平面向量，若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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7. (2021高一上·邯郸期末) 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . -2 C . 0 D . 1

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8. 设函数 $\text{[math]}$ ，对于任意正数 $\text{[math]}$ ，都 $\text{[math]}$ ．已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高一上·肥城期中) 已知关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ D . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$

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10. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）

A . B . C . D .

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11. 已知 $\text{[math]}$ 是单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的对边，（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等腰三角形 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等腰三角形 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为钝角三角形

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三、填空题

13. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为．

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15. “牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为 $\text{[math]}$ ，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为．

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16. (2021·静安模拟) 如图所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的角速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到 $\text{[math]}$ ，再以每秒 $\text{[math]}$ 的角速度从点 $\text{[math]}$ 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点 $\text{[math]}$ ，则上述过程中动点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 关于时间 $\text{[math]}$ 的函数表达式为.

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四、解答题

17. 筒车是我国古代发明的一种水利工具．如图筒车的半径为 $\text{[math]}$ ，轴心 $\text{[math]}$ 距离水面 $\text{[math]}$ ，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒 $\text{[math]}$ 从水中浮现时（图中点 $\text{[math]}$ ）开始计算时间．
1. （1）将点 $\text{[math]}$ 距离水面的距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ．在水面下时 $\text{[math]}$ 为负数）表示为时间 $\text{[math]}$ （单位：分钟）的函数；
2. （2）已知盛水筒 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相邻， $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 的逆时针方向一侧．若盛水筒 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在水面上方，且距离水面的高度相等，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 这三个条件中，选出其中的两个条件，使得 $\text{[math]}$ 唯一确定．并解答之．
  若______，________，求 $\text{[math]}$ 的面积．
  
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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19. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ ，是否存在非零实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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20. 已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）解关于x的方程 $\text{[math]}$ .
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21. 如图，在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将等腰梯形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线翻折，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影恰好与 $\text{[math]}$ 重合．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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22. 数学家发现： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．利用该公式可以得到：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
1. （1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ 时，值域也为 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“和谐区间”．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
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