广东省潮州市2022届高三下学期数学二模试卷

更新时间：2022-05-16 浏览次数：79 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2020高二下·辽宁期末) 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 $\text{[math]}$ ，都是白子的概率是 $\text{[math]}$ ，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为 $\text{[math]}$ ，则该圆柱的体积为（）．

A . 16π B . 27π C . 36π D . 54π

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5. 若点P是双曲线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）．

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 $\text{[math]}$ ，若将军从点 $\text{[math]}$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $\text{[math]}$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）．

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . 45 D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，三棱锥 $\text{[math]}$ 全部顶点都在表面积为 $\text{[math]}$ 的球O的球面上，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 的两个零点分别在区间 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 内，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线图如图，则（）．

A . 1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月 B . 1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系 C . 1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小 D . 1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）．

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图像的一个对称中心 C . $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 单调递减

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11. 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的有（）．

A . 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 为非奇非偶函数 C . 过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 图象相切的直线方程为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 已如斜率为k的直线l经过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点且与此抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，直线l与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（）．

A . $\text{[math]}$ 为定值 B . $\text{[math]}$ 为定值 C . k的取值范围为 $\text{[math]}$ D . 存在实数k使得 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 设函数 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 图象上，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，设向量 $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知在 $\text{[math]}$ 中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角B的大小；
2. （2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．
  ① $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ．
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19. 如图，平面 $\text{[math]}$ 平面CEFG，四边形CEFG中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在正方形ACDE的外部，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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20. 我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为 $\text{[math]}$ ，收益率为-10％的概率为 $\text{[math]}$ ；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为-20％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．
附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；
2. （2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：
  年份x
  2018
  2019
  2020
  2021
  $\text{[math]}$
  1
  2
  3
  4
  累计投资金额y（单位：亿元）
  2
  3
  5
  6
  请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．
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21. 设椭圆 $\text{[math]}$ 为左右焦点， $\text{[math]}$ 为短轴端点，长轴长为4，焦距为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
(Ⅰ)求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程

(Ⅱ)设动直线 $\text{[math]}$ 椭圆 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .试探究：在坐标平面内是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 为直径的圆恒过点 $\text{[math]}$ ?若存在求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在.请说明理由.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内单调递增，求实数a的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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