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上海市徐汇区2020-2021年高一下学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-05-25 浏览次数：65 类型：期末考试

一、填空题

1. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边上的一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则 $\text{[math]}$ ．

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. 将正弦函数 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 个单位，可以得到余弦函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量的坐标为．

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6. (2020高一上·南京月考) 函数 $\text{[math]}$ 的单调递减区间是．

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7. 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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9. (2019高二下·上海期末) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的一个虚根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ ）有且仅有三个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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12. (2021·浦东模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得对于任意的实数x都有 $\text{[math]}$ 成立，则实数a的取值范围是.

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二、单选题

13. 在 $\text{[math]}$ 中，" $\text{[math]}$ "是 $\text{[math]}$ 为钝角三角形的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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14. 幂函数 $\text{[math]}$ ，及直线 $\text{[math]}$ 将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： $\text{[math]}$ （如图所示），那么，而函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 函数 $\text{[math]}$ 是（）

A . 最小正周期为 $\text{[math]}$ 的奇函数 B . 最小正周期为 $\text{[math]}$ 的偶函数 C . 最小正周期为 $\text{[math]}$ 的奇函数 D . 最小正周期为 $\text{[math]}$ 的偶函数

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16. (2021高二下·南海期末) 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级 $\text{[math]}$ （单位：dB）与声音强度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）满足 $\text{[math]}$ ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）

A . 36dB B . 63 dB C . 72 dB D . 81 dB

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三、解答题

17. 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 为纯虚数；
2. （2）如果复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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18. 在 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
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19. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线 $\text{[math]}$ ，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）
1. （1）求该噪声声波曲线的解析式 $\text{[math]}$ 以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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20. 为了测量金茂大厦最高点 $\text{[math]}$ 与上海中心大厦最高点 $\text{[math]}$ 之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线 $\text{[math]}$ ，并且在飞行路线上选择 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间的距离 $\text{[math]}$ 和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）
1. （1）若无人机在 $\text{[math]}$ 处测得 $\text{[math]}$ ，在D处测得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，问：
  能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据 $\text{[math]}$ 表示）；若不能，请说明理由．
2. （2）若要进一步计算金茂大厦最高点 $\text{[math]}$ 与上海中心大厦最高点 $\text{[math]}$ 之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为D，若对任意的 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为“L函数”．
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 是否为“L函数”，并说明理由；
2. （2）已知“L函数” $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的严格增函数，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$
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