湖南省天壹名校联盟2021-2022学年高二上学期数学12月...

更新时间：2022-01-28 浏览次数：184 类型：月考试卷

一、单选题

1. 双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的实轴长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 2

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2. 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 0 D . -1

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3. 已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（）

A . 160片 B . 170片 C . 180片 D . 190片

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5. 若点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的外部，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列向量中，使 $\text{[math]}$ 能构成空间的一个基底的向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左，右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线右支上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 是直角三角形 B . 点 $\text{[math]}$ 的横坐标为1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的内切圆的面积为 $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 在正方体 $\text{[math]}$ 中，下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 是平面A₁B₁C₁D₁的一个法向量 B . $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距为2 B . 直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距为3 C . 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为锐角 D . 过原点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线方程为 $\text{[math]}$

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则下列结论正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 是公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列 D . 若数列 $\text{[math]}$ 是单调递增数列，则 $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上异于坐标原点 $\text{[math]}$ 的两个动点，且以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度 $\text{[math]}$ 米，高度 $\text{[math]}$ 米（即桥拱顶到基座 $\text{[math]}$ 所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座 $\text{[math]}$ 处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为米．

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16. 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该平行六面体的体积为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 中，首项 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点与抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 重合，且双曲线的一条渐近线为 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 平行的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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19. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）建立适当的直角坐标系，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程，并说明轨迹 $\text{[math]}$ 是什么曲线；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 将（1）中的曲线 $\text{[math]}$ 分成长度为1：2的两部分，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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21. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形，且 $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 上一点．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）试确定点 $\text{[math]}$ 的位置，使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的左，右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 的最大值为3，最小值为1．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在第一象限，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴垂直，过 $\text{[math]}$ 作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．
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