山东省烟台市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2021-12-22 浏览次数：191 类型：期末考试

一、单选题

1. 数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则该抛物线的焦点坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 与双曲线 $\text{[math]}$ 有公共焦点且离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数．他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，…；等等．如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为（）

A . 35 B . 51 C . 70 D . 92

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5. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点，若椭圆 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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7. 如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为 $\text{[math]}$ ，瓶口直径为 $\text{[math]}$ ，瓶高为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的虚轴长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 45

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8. 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，将数列 $\text{[math]}$ 中的整数从小到大排列得到新数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的前100项和为（）

A . 9900 B . 10200 C . 10000 D . 11000

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二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 有且只有一个公共点 B . 平面内满足 $\text{[math]}$ 的动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为双曲线 C . 若方程 $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的双曲线，则 $\text{[math]}$ D . 过给定圆上一定点 $\text{[math]}$ 作圆的动弦 $\text{[math]}$ ，则弦 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹为椭圆

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10. 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为斐波那契数列．记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆的顶点， $\text{[math]}$ 为右焦点，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知数列1， $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，1，…，则（）

A . 数列的第 $\text{[math]}$ 项均为1 B . $\text{[math]}$ 是数列的第90项 C . 数列前50项和为28 D . 数列前50项和为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 $\text{[math]}$ 经抛物线 $\text{[math]}$ 反射后，沿 $\text{[math]}$ 平行射出， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 所在的直线方程为 $\text{[math]}$ ，则抛物线方程为．

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四、解答题

17. 从条件① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 任选一个补充在下面问题中，并解答．
问题：已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ▲ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 动点 $\text{[math]}$ 与定点 $\text{[math]}$ 的距离和 $\text{[math]}$ 到定直线 $\text{[math]}$ 的距离的比是常数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轨迹上一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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19. 在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月．该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息．）
1. （1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．）
2. （2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由．
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20. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．
1. （1） $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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21. 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ，椭圆的短轴长等于4．
1. （1）求椭圆的标准方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，且以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过坐标原点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）分别求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，是否存在不同的正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列），使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．
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