上海市实验学校2022届高三上学期数学摸底考试试卷

更新时间：2021-09-15 浏览次数：100 类型：高考模拟

一、填空题

1. (2017高二下·扶余期末) 复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数是.

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2. $\text{[math]}$ .

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3. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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5. 非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. 已知直线l过点（1，0）且与直线 $\text{[math]}$ x+y﹣1＝0垂直，l与圆C：（x﹣6）²+（y $\text{[math]}$ ）²＝12交于A，B两点，则弦AB的长为．

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7. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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8. 设函数 $\text{[math]}$ 存在反函数 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图象一定过点.

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9. 已知 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为.

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10. 《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图､洛书是中华文化､阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是.

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ 的值为．

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12. 已知a，b， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当S取最小值时，c的最大值为.

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二、单选题

13. 已知 $\text{[math]}$ 是1，2，3， $\text{[math]}$ ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这四个数据的平均数为1，那么 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 不存在

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14. 下列说法中正确的是（）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；

②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；

③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；

④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.

A . ①②③④ B . ①②③ C . ②④ D . ①②④

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15. 若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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16. 已知 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 有三个实根 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题

17. 如图所示，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值；
2. （2）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.
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18. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，C，D两点在半圆弧上，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ；
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
2. （2）若要在景区内铺设一条由线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成的观光道路，则当 $\text{[math]}$ 为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性；
2. （2）解关于x的不等式： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ 有三个不等实根，求实数a的取值范围.
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 各项均为正数， $\text{[math]}$ 为前n项的和，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项积，是否存在实数a，使得不等式 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
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21. 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，过椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点 $\text{[math]}$ 的直线l交于抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与椭圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问是否存在直线 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ？若存在求出直线 $\text{[math]}$ 的方程，若不存在，请说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，问 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的横坐标的乘积 $\text{[math]}$ 是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
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