安徽省宣城市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

更新时间：2021-08-17 浏览次数：128 类型：期末考试

一、单选题

1. $\text{[math]}$ 是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 某学校有学生2500人，其中女生1000人，为了了解学生周末的学习时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为 $\text{[math]}$ 的样本，若样本中男生恰有30人，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 30 B . 50 C . 70 D . 80

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3. 已知点 $\text{[math]}$ ，则与 $\text{[math]}$ 方向相同的单位向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 一个盒子装有3个黑球，2个红球，从中摸出3个球，记事件 $\text{[math]}$ “至少有1个红球”，事件 $\text{[math]}$ “全是黑球”，则下列说法正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 事件 $\text{[math]}$ B . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 互斥但不对立 C . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 是对立事件 D . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 不互斥

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6. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，满足条件的三角形的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 无数多

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7. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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8. (2017高二下·故城期中) 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 我国古代数学名著《九章算术》将正四棱锥称为方锥.已知半径为 $\text{[math]}$ 的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合.若方锥的体积为 $\text{[math]}$ ，则半球体的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，则下列说法正确的个数是（）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有 $\text{[math]}$

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有 $\text{[math]}$

④在折起过程中，一定存在某个位置，使 $\text{[math]}$

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 若一组数据 $\text{[math]}$ 的平均数为10，方差为2，则 $\text{[math]}$ .

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15. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的周长为5，则 $\text{[math]}$ .

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16. 如图所示，一坚立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 $\text{[math]}$ 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 $\text{[math]}$ 处，若该小虫爬行的最短路程为 $\text{[math]}$ ，则这个圆锥的体积为.

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三、解答题

17. 已知复数 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，复数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求复数 $\text{[math]}$ ；
2. （2）将复数 $\text{[math]}$ 所对应的向量 $\text{[math]}$ 以坐标原点为中心按逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到对应的复数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 3月12日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩(满分为100分)作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为 $\text{[math]}$
1. （1）求频率分布直方图中 $\text{[math]}$ 的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分；
2. （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在[60，70)内的概率.
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19. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 外接圆的半径为2，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.
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20. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.
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21. 如图，一座山其高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从 $\text{[math]}$ 往 $\text{[math]}$ 匀速行驶，在 $\text{[math]}$ 处测得山顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，经过 $\text{[math]}$ 后汽车到达 $\text{[math]}$ 处，这时测得山顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求这辆汽车的速度；
2. （2）若汽车从 $\text{[math]}$ 往 $\text{[math]}$ 行驶5秒时到达 $\text{[math]}$ 处，求此时山顶 $\text{[math]}$ 与汽车的距离 $\text{[math]}$ .
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22. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若线段 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）在（2）的条件下，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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