湖南省邵阳二高2022届高三上学期数学7月第一次自主调研试卷

更新时间：2021-08-30 浏览次数：191 类型：高考模拟

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。

1. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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2. 若非零向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两向量的夹角为（）

A . 0° B . 60° C . 90° D . 180°

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3. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）

A . 48 B . 72 C . 90 D . 96

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则cosx等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列式子成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与其左支交于点 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ ，若存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9. 下列说法正确的是（）

A . 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ” B . 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件 C . 命题 $\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ 为第一象限角，则 $\text{[math]}$ ；命题 $\text{[math]}$ ：函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则 $\text{[math]}$ 为假命题 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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10. 设函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为奇函数 B . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的一个对称中心为 $\text{[math]}$ C . 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恰有4个零点

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11. 已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，A、B在抛物线C上，且 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，过A，B分别引抛物线C两切线交于点P，则下列结论正确的是（）

A . 点P位于抛物线的准线上 B . ∠APB=90° C . PF⊥AB D . PF=2 $\text{[math]}$

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12. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 四面体 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. (2019·天津) 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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14. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项，则 $\text{[math]}$ 的通项公式为.

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15. 中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”．他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产 $\text{[math]}$ 公斤，到第二期亩产 $\text{[math]}$ 公斤，第三期亩产 $\text{[math]}$ 公斤，第四期亩产 $\text{[math]}$ 公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩公斤．
附：用最小二乘法求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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16. 英国数学家泰勒发现了公式： $\text{[math]}$ ，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．
$\text{[math]}$ ．其发现过程简单分析如下：

当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，

容易看出方程 $\text{[math]}$ 的所有解为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

于是方程 $\text{[math]}$ 可写成： $\text{[math]}$ ，

改写成： $\text{[math]}$ ．（*）

比较方程（*）与方程 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 项的系数，即可得

$\text{[math]}$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。

17. (2021高二下·泗县期末) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求角A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为4，公差为2的等差数列.( $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ).
(Ⅰ)求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

(Ⅱ)当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. (2021高二下·泗县期末) 如图，在五面体 $\text{[math]}$ 中，面 $\text{[math]}$ 为矩形，且与面 $\text{[math]}$ 垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.
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20. 从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．

分组	频数	频率
[2.5，7.5)	2	0.002
[7.5，12.5)	m	0.054
[12.5，17.5)	106	0.106
[17.5，22.5)	149	0.149
[22.5，27.5)	352	n
[27.5，32.5)	190	0.190
[32.5，37.5)	100	0.100
[37.5，42.5)	47	0.047
合计	1000	1.000

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求m，n，a的值；
（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3） $\text{[math]}$ 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ ，其中已计算得 $\text{[math]}$ ．如果产品的质量指标值位于区间 $\text{[math]}$ ，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间 $\text{[math]}$ 之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记 $\text{[math]}$ 为抽取的20件产品所获得的总利润，求 $\text{[math]}$ ．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过椭圆 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过原点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行，且与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是自然对数的底数．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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