云南省2021届高三理数二模试卷

更新时间：2021-05-18 浏览次数：144 类型：高考模拟

一、单选题

1. 满足 $\text{[math]}$ 的集合 $\text{[math]}$ 的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位， $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在 $\text{[math]}$ 的二项展开式中， $\text{[math]}$ 的系数是（）

A . 3 B . 5 C . 7 D . 9

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4. $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . -2 D . -5

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5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心是坐标原点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点.若椭圆 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是等边三角形，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等差数列，设 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知边长为 $\text{[math]}$ 的正 $\text{[math]}$ 的顶点和点 $\text{[math]}$ 都在球 $\text{[math]}$ 的球面上.若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 48π C . 24π D . 12π

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10. 从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用 $\text{[math]}$ 表示取出的数字的最小数，则随机变量 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调.设函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的所有零点之和等于（）

A . 0 B . 4 C . 12 D . 16

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是平面向量.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 圆 $\text{[math]}$ 的圆心到双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线的距离为.

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15. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积 $\text{[math]}$ 的最大值.
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18. 某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第 $\text{[math]}$ 年为这台设备支出的年度保养维修费 $\text{[math]}$ （单位：千元）的部分数据：

$\text{[math]}$

2

3

4

5

6

$\text{[math]}$

2.1

3.4

5.9

6.6

7.0

画出散点图如下：

通过计算得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的相关系数 $\text{[math]}$ .由散点图和相关系数 $\text{[math]}$ 的值可知， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性相关程度很高.

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
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19. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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20. 已知 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；
2. （2）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，对任何 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的所有值；若不存在，请说明理由.
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21. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点在坐标原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，直线 $\text{[math]}$ 经过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点分别作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，两条切线相交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 $\text{[math]}$ 的极坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 平行.
1. （1）直接写出曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程和直线 $\text{[math]}$ 的参数方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
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