山东省潍坊市2021届高三数学一模考试试卷

更新时间：2021-04-22 浏览次数：229 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则以下结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚部单位），则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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3. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

$\text{[math]}$

-2

-1

1

2

3

$\text{[math]}$

0.24

0.51

2.02

3.98

80.2

在以下四个函数模型（ $\text{[math]}$ 为待定系数）中，最能反映 $\text{[math]}$ 函数关系的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在空间中，下列命题是真命题的是（）

A . 经过三个点有且只有一个平面 B . 平行于同一平面的两直线相互平行 C . 如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D . 如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

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5. 接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多 $\text{[math]}$ 人被感染的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 多项式 $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 6 B . 8 C . 12 D . 13

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 $\text{[math]}$ 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）

A . 144 B . 72 C . 36 D . 24

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二、多选题

9. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，则以下说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的实轴长为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是偶函数 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是增函数 D . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$

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11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知正方形ABCD的边长为1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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14. 写出一个存在极值的奇函数 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 $\text{[math]}$ 的半径为10， $\text{[math]}$ ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当 $\text{[math]}$ 最长时，该奖杯比较美观，此时 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 在①函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，②函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，③函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数 $\text{[math]}$ 最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且 ▲ ，判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的 $\text{[math]}$ 值；若不存在，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并求出 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为等边三角形且垂直于底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的动点（除端点外）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的最大角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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20. 在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示年龄， $\text{[math]}$ 表示脂肪含量，并计算得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

参考公式：相关系数 $\text{[math]}$ ；

对于一组具有线性相关关系的数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\text{[math]}$ ．

（1）请用相关系数说明该组数据中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 的计算结果保留两位小数）；

（2）科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲，乙两款健身器材的使用年限（整年）统计表：

使用年限

台数

款式

5年

6年

7年

8年

合计

甲款

乙款

某健身机构准备购进其中--款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线经过坐标原点，求实数 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点个数，并说明理由．
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22. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 相交于点N且它们的斜率之积是 $\text{[math]}$ ，记动点M的轨迹为曲线E．
1. （1）求曲线E的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，且点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 轴上方，记直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ．
  ①证明： $\text{[math]}$ 为定值；
  
  ②设点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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