江苏省南京市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

更新时间：2020-10-27 浏览次数：265 类型：期中考试

一、单选题

1. 若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a的值是（）

A . 1 B . –1 C . 4 D . –4

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 平行，则实数 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 2 B . -2 C . 10 D . -10

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3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

8.3

8.5

10

11.2

12

支出y（万元）

6

7.5

8

8.5

10

根据上表可得 $\text{[math]}$ ，线性回归方程 $\text{[math]}$ .据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为（）

A . 15.2万元 B . 15.6万元 C . 16万元 D . 16.2万元

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5. 如图，一个圆柱的底面半径为 $\text{[math]}$ ，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点.若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为实数，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且被圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，交抛物线于 $\text{[math]}$ 两点，且线段 $\text{[math]}$ 中点的横坐标为3，则线段 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 10

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10. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ±1 D . $\text{[math]}$

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二、多选题

11. 已知两条直线l，m及三个平面 α，β，γ ，下列条件中能推出α⊥β的是（）

A . l⊂α，l⊥β B . l⊥α，m⊥β，l⊥m C . α⊥γ，β∥γ D . l⊂α，m⊂β，l⊥m

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12. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 到两个定点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离之积等于8，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 经过坐标原点 B . 曲线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . 曲线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称 D . 若点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$

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三、双空题

13. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为.若双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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四、填空题

14. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率是.

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15. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如 $\text{[math]}$ .在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是.

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16. 已知四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是矩形，底面边长和侧棱长均为2， $\text{[math]}$ ，则对角线 $\text{[math]}$ 的长为.

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五、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为5，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位： $\text{[math]}$ ）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表

日用水量

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

频数

2

3

8

12

5

（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表

日用水量

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

频数

2

5

11

6

6
1. （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 $\text{[math]}$ 的概率；
2. （2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
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19. 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是平行四边形，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
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20. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.
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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ .过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 位于第一象限，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的外接圆的方程.
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，过动点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .记动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
  
  ②设 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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