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上海市虹口区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

更新时间：2020-08-23 浏览次数：147 类型：期末考试

一、单选题

1. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，m是直线且 $\text{[math]}$ ．“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. 设 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的左､右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E相交于A､B两点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 方程为 $\text{[math]}$ 的曲线，给出下列四个结论：
① 关于 $\text{[math]}$ 轴对称；② 关于坐标原点对称；③ 关于y轴对称； ④ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

以上结论正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，P为 $\text{[math]}$ 的中点，Q为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，过点A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列三个结论：

① 当 $\text{[math]}$ 时，S为四边形；

② 当 $\text{[math]}$ 时，S为等腰梯形；

③ 当 $\text{[math]}$ 时，S的面积为 $\text{[math]}$ ；

以上结论正确的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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5. 正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，P为 $\text{[math]}$ 的中点，Q为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积记为 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积记为 $\text{[math]}$ ，则以下结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系不能确定

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二、填空题

6. 若 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是虚数单位)是关于x的实系数方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ 等于.

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7. 已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则实数a的值等于.

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8. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则P点的轨迹方程为.

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9. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小等于.

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10. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点且与对称轴垂直的弦长为．

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11. 如图，以长方体 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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12. 一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号为1，2， $\text{[math]}$ ，9，随机摸出两个球，则两个球编号之和为奇数的概率是.(结果用分数表示)

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13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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14. 棱长为a的正方体 $\text{[math]}$ 的顶点A到截面 $\text{[math]}$ 的距离等于.

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15. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)与圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)相切，则实数a的值为.

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16. 我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线 $\text{[math]}$ 的中点，已知过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平面与圆锥侧面的交线是以W为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于.

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17. 已知点 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 上的两个点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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18. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离等于.

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19. 求圆 $\text{[math]}$ 上的点到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最大值.

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三、解答题

20. 已知i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 满足方程 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，求实数a､b的值.

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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，直线l与 $\text{[math]}$ 交于P､Q两点.
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点，求 $\text{[math]}$ 的渐近线方程；
2. （2）若点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率等于1，且 $\text{[math]}$ ，求双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程.
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22. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ (如图一)的平面展开图(如图二)中， $\text{[math]}$ 为边长等于 $\text{[math]}$ 的正方形，△ $\text{[math]}$ 和△ $\text{[math]}$ 均为正三角形，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的大小；
3. （3）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.
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23. 焦距为 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，如果满足“ $\text{[math]}$ ”，则称此椭圆为“等差椭圆”.
1. （1）如果椭圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )是“等差椭圆”，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如果椭圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )是“等差椭圆”，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与此“等差椭圆”只有一个公共点，求此直线的斜率；
3. （3）椭圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )是“等差椭圆”，如果焦距为12，求此“等差椭圆”的方程；
4. （4）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点(Q也异于A)，直线 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别与x轴交于M､N两点，判断以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点？说明理由.
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24. 定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.
1. （1）在空间，求与定点O距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；
2. （2）在空间，线段 $\text{[math]}$ (包括端点)的长等于1，求到线段 $\text{[math]}$ 的距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；
3. （3）在空间，记边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 区域(包括边界及内部的点)为 $\text{[math]}$ ，求到 $\text{[math]}$ 距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积.
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