河南省郑州市2020届高三理数第二次质量预测试卷

更新时间：2020-07-30 浏览次数：198 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 其中是虚数单位，满足 $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 的共轭复数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 郑州市2019年各月的平均气温 $\text{[math]}$ 数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）

A . 20 B . 21 C . 20.5 D . 23

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4. 圆 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的圆的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）

A . 30米 B . 20米 C . $\text{[math]}$ 米 D . 15米

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6. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线 $\text{[math]}$ 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 $\text{[math]}$ 时，表示收入完全不平等记区域 $\text{[math]}$ 为不平等区域，a表示其面积，S为 $\text{[math]}$ 的面积．将 $\text{[math]}$ ，称为基尼系数．对于下列说法：

① $\text{[math]}$ 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为 $\text{[math]}$ ，则对 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中不正确的是：（）

A . ①④ B . ②③ C . ①③④ D . ①②④

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9. 2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）

A . 96 B . 84 C . 120 D . 360

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10. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等比数列，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 2

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11. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 过双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的右焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，交双曲线的左支于B点，若 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 根的个数是．

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15. 已知直角梯形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是腰 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 设函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在两点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角顶点的直角三角形（其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 $\text{[math]}$ 轴上，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 为公差不为零的等差数列， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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18. 由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．

（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有 $\text{[math]}$ 的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？

（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用 $\text{[math]}$ 表示所选4人中青春组的人数，试写出 $\text{[math]}$ 的分布列，并求出 $\text{[math]}$ 的数学期望．

附： $\text{[math]}$ ；其中 $\text{[math]}$

独立性检验临界表：

$\text{[math]}$

0.100

0.050

0.010

$\text{[math]}$

2.706

3.841

6.635

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19. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，沿对角线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，使得点D在平面 $\text{[math]}$ 内的射影恰好落在边 $\text{[math]}$ 上．

（Ⅰ）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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20. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 内，动点A到定点 $\text{[math]}$ 的距离与A到定直线 $\text{[math]}$ 距离之比为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设点 $\text{[math]}$ 是轨迹C上两个动点直线 $\text{[math]}$ 与轨迹C的另一交点分别为 $\text{[math]}$ 且直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积等于 $\text{[math]}$ ，问四边形 $\text{[math]}$ 的面积S是否为定值？请说明理由．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性．

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22. 在极坐标系中，圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线 $\text{[math]}$ 的普通方程，

（Ⅱ）若直线l与圆C交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ．求实数a的取值范围．

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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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