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上海市理工大附中2018-2019学年高二下学期数学期末考试...

更新时间：2020-07-08 浏览次数：113 类型：期末考试

一、单选题

1. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面上所对应的图形是（）

A . 椭圆 B . 双曲线 C . 直线 D . 线段

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2. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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3. 设A、B是非空集合，定义： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 给出下列三个命题：
命题1：存在奇函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 和偶函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是偶函数；

命题2：存在函数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 及区间 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上均是增函数，但 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数；

命题3：存在函数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （定义域均为 $\text{[math]}$ ），使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 处均取到最大值，但 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取到最小值.

那么真命题的个数是（）．

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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二、填空题

5. 集合 $\text{[math]}$ 的所有子集个数为．

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6. 复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位）的虚部为．

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7. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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8. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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9. 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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10. 已知关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为R，则实数a的取值范围．

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11. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 设 $\text{[math]}$ 是定义在R上的周期为2的函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ =．

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13. (2019高一上·柳州月考) 已知偶函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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14. 已知互异复数 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ ．

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16. (2019高二下·上海月考) 已知 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是虚数单位), $\text{[math]}$ 定义: $\text{[math]}$ 给出下列命题:
⑴对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$

⑵若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的共轭复数,则 $\text{[math]}$ 恒成立；

⑶若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$

⑷对任意 $\text{[math]}$ 结论 $\text{[math]}$ 恒成立.

则其中所有的真命题的序号是.

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三、解答题

17. 设复数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ 是实数，求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 是纯虚数，求 $\text{[math]}$ ．

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18. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围.

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19. 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的两根为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求实数a的值.

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20. 学校某社团参加某项比赛，需用木料制作如图所示框架，框架下部是边长分别为 $\text{[math]}$ 的矩形，上部是一个半圆，要求框架围成总面积为8.
1. （1）试写出用料（即周长 $\text{[math]}$ ）关于宽x的函数解析式，并求出x的取值范围；
2. （2）求用料（即周长C）的最小值，并求出相应的x的值.
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21. 对于定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，如果存在区间 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，同时满足：
① $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内是单调函数：②当定义域为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是区间 $\text{[math]}$ 上的“保值函数”，区间 $\text{[math]}$ 称为“保值函数”.
1. （1）求证：函数 $\text{[math]}$ 不是定义域 $\text{[math]}$ 上的“保值函数”；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）是区间 $\text{[math]}$ 上的“保值函数”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）对（2）中函数 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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