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上海市金山区2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

更新时间：2020-07-08 浏览次数：124 类型：期末考试

一、单选题

1. 现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（）

A . 3，13，23，33，43，53 B . 2，14，26，38，40，52 C . 5，8，31，36，48，54 D . 5，10，15，20，25，30

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2. 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，有下列命题：
①如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ； ②如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ；③如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ；④如果平面 $\text{[math]}$ 内有不共线的三点到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等，那么 $\text{[math]}$ ；其中正确的命题是（）

A . ①② B . ②③ C . ②④ D . ②③④

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3. (2020·长沙模拟) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 $\text{[math]}$ 异面且夹角成 $\text{[math]}$ 的直线的条数为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

5. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是

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6. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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7. 在 $\text{[math]}$ 的二项展开式中， $\text{[math]}$ 项的系数为（结果用数值表示）

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8. 已知地球半径为R，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是

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9. 若函数 $\text{[math]}$ 的反函数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为

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10. 底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是

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11. (2012·上海理) 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．

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12. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是

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13. 设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是

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14. 在斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面边长和侧棱长都为2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为

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15. 如图，棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，点P在侧面 $\text{[math]}$ 内，若 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最小值为.

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16. 已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），对任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ 恒成立，下列说法：
① $\text{[math]}$ 的周期为6；

②若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则必有 $\text{[math]}$ ；

④已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ 成立，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；又函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），若存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ，

其中说法正确的是（填写所有正确结论的编号）

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三、解答题

17. 男生4人和女生3人排成一排拍照留念.
1. （1）有多少种不同的排法（结果用数值表示）？
2. （2）要求两端都不排女生，有多少种不同的排法（结果用数值表示）？
3. （3）求甲乙两人相邻的概率.（结果用最简分数表示）
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18. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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19. 已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .经测算，电车载客量 $\text{[math]}$ 与发车时间间隔 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ，并说明 $\text{[math]}$ 的实际意义；
2. （2）若该线路每分钟的净收益为 $\text{[math]}$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.
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20. 如图， $\text{[math]}$ 是圆柱的底面直径且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆柱的母线且 $\text{[math]}$ ，点C是圆柱底面面圆周上的点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当三棱锥 $\text{[math]}$ 体积最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；（结果用反三角函数值表示）
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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21. 若存在常数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），使得对定义域 $\text{[math]}$ 内的任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），都有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 在其定义域 $\text{[math]}$ 上是“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”.
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 是否是“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）是“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）是周期为2的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .
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